Задачи по теме «Конус»

(разобрать задачи и записать в конспект)

1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.

Дано: конус,

r = 3 м,

h =4 м,

Найти: l – образующая конуса

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса и радиус основания, а гипотенузой – образующая конуса. По теореме Пифагора получим:

Ответ: 5 м.

2. Радиус основания конуса R.. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Дано: конус,

R – радиус основания,

∆ABC – осевое сечение конуса,

Найти:

Решение. Так как этот прямоугольный треугольник является еще и равнобедренным, то высота в нем, проведенная к основанию, является и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть, радиусу, так как гипотенуза равна диаметру.

Ответ: .

3. В равностороннем конусе (осевое сечение – правильный треугольник) радиус основания R.Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.

Дано: конус,

R – радиус основания,

∆ABC – осевое сечение конуса,

MC, KC – образующие конуса,

Найти:

Решение. Так как в осевом сечении ∆ABC – правильный, то образующая AC = AB = 2R. Площадь ∆MCK найдем по формуле

Ответ: .

4. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.

Дано: конус,

α – плоскость,

R – радиус основания,

СD = H,

С – вершина конуса,

СК = d

Найти:

Решение.

Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии (гомотетия – преобразование подобия, то есть, преобразование фигуры F в фигуру , при котором расстояние между точками изменяются в одно и то же число раз) относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии . Поэтому и . Следовательно, площадь сечения

Ответ: .

5. Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Дано: конус,

α – плоскость,

H - высота,

Найти: h

Решение.

Проведенная плоскость отсекает подобный конус. В подобных фигурах отношение линейных размеров равно коэффициенту подобия, а отношение соответствующих площадей – квадрату коэффициента подобия. Значит, . Отсюда . Тогда и