2020-06-12
105
Математика
Класс
Урок 19 - 21
Скалярное произведение векторов
Вспомним, что скалярным произведением двух векторов на плоскости называется число, равное произведению длин данных векторов на косинус угла между ними. Также мы выводили формулу для нахождения скалярного произведения векторов в координатах: 
, где 
; 
.
Угол между векторами
Введем понятие угла между векторами – оно, как и многое на этом уроке, будет абсолютно аналогичным тому, что было на плоскости.
Пусть даны два вектора 
, 
. Отложим их от некоторой точки 
пространства: 
; 
. Тогда угол между векторами – это угол 
. (См. Рис. 1.) Угол может быть прямым, тупым или острым.
Рис. 1. Угол между векторами
Если векторы сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен 
. (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Угол между сонаправленными векторами
Если угол между векторами равен 
, такие векторы называют перпендикулярными. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Перпендикулярные векторы
Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 
. (См. Рис. 4.)
|
|
|
Рис. 4. Угол между противоположно направленными векторами
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: 
.
Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно (т. к. 
). (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Случай, когда скалярное произведение положительно
Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно (т. к. 
). (См. Рис. 6.)
Рис. 6. Случай, когда скалярное произведение отрицательно
Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 
(т. к. 
). (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Случай, когда скалярное произведение равно
Скалярное произведение через координаты векторов и нахождения косинуса угла между векторами
Важный момент: 
.
Произведение длин в координатах, мы уже искать умеем – знаменатель сможем преобразовать. А как преобразовать числитель?
Если 
; 
, то 
. Формула аналогична плоскостной и доказывается точно так же.
Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами выглядит так:
.
И это очень важный момент. Теперь, если у нас даны две произвольные прямые, каждая задана двумя точками, мы можем найти соответствующие направляющие векторы этих прямых (см. Рис. 8) и посчитать косинус угла между ними по выведенной формуле.
Рис. 8. Угол между произвольными прямыми
Но не стоит забывать, что есть отличие между углом между векторами и углом между прямыми. Угол между прямыми может быть острым или прямым, а угол между векторами может быть еще и тупым. Поэтому соответствующий косинус, который мы найдем у векторов, надо будет взять по модулю, чтобы при необходимости вместо тупого угла найти смежный с ним острый угол.
|
|
|
