2020-06-12
83
Остановимся на свойствах скалярного произведения; они абсолютно аналогичны тому, что было в планиметрии.
1. 
(причем 
)
2. 
.
3. (
4. 
, где 
– число, 
, 
– векторы.
Доказываются эти утверждения аналогично планиметрическим.
Примеры
Задача 1. Найти угол между векторами 
, 
.
Решение. Вспомним, что 
.
По формулам: 
; 
.
Тогда 
.
Значит, 
.
Ответ: 
.
Задача 2. В единичном кубе 
найти угол между прямыми 
и 
. (См. Рис. 9.)
Рис. 9. Иллюстрация к условию
Решение. Сразу отметим, что требуется найти угол между прямыми, то есть угол между ними будет острым. Значит, если косинус получится отрицательным, то надо взять его по модулю, найдя смежный острый угол.
Способ 1. Введем систему координат. (См. Рис. 10.)
Рис. 10. Ввели систему координат
Найдем координаты интересующих нас точек: 
, 
, 
, 
.
Теперь найдем координаты векторов: 
, 
.
Тогда нужно найти косинус угла между данными векторами: 
. Тогда 
.
Значит, 
. Тогда эти векторы перпендикулярны, а тогда и угол между исходными прямыми – прямой, то есть 
.
Способ 2. Перенесем вектор параллельно так, чтобы точка 
совместилась с точкой 
, получим вектор 
, тогда найдем угол между 
и 
. (См. Рис. 11.)
Рис. 11. Иллюстрация ко второму способу решения
Способ 3. Используем теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой 
на плоскость передней грани является прямая 
, которая перпендикулярна 
(как диагональ квадрата). (См. Рис. 12.) Значит, исходные прямые перпендикулярны.
Рис. 12. Прямая и ее проекция
Ответ: .
Пример
В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 
, найдите косинус угла между прямыми 
и 
. (См. Рис. 13.)
Рис. 13. Иллюстрация к задаче
Решение. 1. Введем систему координат. (См. Рис. 14.)
Рис. 14. Ввели систему координат
Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим уже понятный плоскостной рисунок. (См. Рис. 15.) Тогда мы сможем найти координаты всех интересующих нас точек.
Рис. 15. Выносной рисунок основания призмы
Точка 
имеет координаты 
. Точка 
– 
. Точка 
– 
.
Тогда точка 
имеет координаты 
, а точка 
– 
.
2. Найдем координаты векторов 
и 
:
, 
.
3. Найдем длины векторов 
и :
.
.
4. Найдем скалярное произведение векторов и :
5. Найдем косинус угла между прямыми и :
, 
, 
Ответ: 
.
Заключение
На этом уроке мы ввели понятие скалярного произведения для пространства, выяснили, что скалярное произведение обладает теми же свойствами и соответствующими формулами, что и для плоскости. Разобрали формулу скалярного произведения через координаты, поняли, как искать угол между векторами через координаты и между прямыми через координаты, не забыв, что в определенных условиях возникает модуль. То есть если косинус угла между векторами отрицателен, скалярное произведение векторов отрицательно (а мы ищем угол между прямыми), то соответствующий косинус, который тоже будет отрицателен, надо взять по модулю.
Практическая работа
1. Определите скалярное произведение векторов 
и 
.
2. Даны векторы 
и 
. Определите, какой угол образован этими векторами.
3. Определите косинус 
треугольника 
, если даны координаты вершин треугольника: 
, 
, 
.
