Рассуждения о точности

Результат численного интегрирования на отрезке полностью определяется результатами вычисления площадей на каждом элементарном подотрезке. Основываясь на этом тезисе, приведу два примера. Пусть

f(x) = arctg (1000(x - 2)) + 2 – интегрируемая функция.

Так выглядит её график вблизи точки x = 2:

1. Метод трапеций точнее метода прямоугольников

Допустим, в результате разбиения отрезка интегрирования [a; b] получился подотрезок [c; d], где c = 1, d = 2.8. Метод трапеций на таком подотрезке покажет хороший результат, близкий к точному значению площади:

Метод трапеций захватит площадь оранжевого цвета, но проигнорирует площадь розового цвета. На рисунке видно, что эти площади примерно равны и компенсируют друг друга, и это обстоятельство спасает метод трапеций.

А теперь метод прямоугольников:

Середина отрезка [1; 2.8] подводит данный метод. Он посчитает площадь зелёного цвета, а площадь красного цвета пропустит.

2. Метод прямоугольников точнее метода трапеций

Предположим теперь, что в результате разбиения отрезка интегрирования [a; b] получился подотрезок [c; d], где c = 1, d = 2.05. Метод прямоугольников на таком подотрезке покажет неплохой результат:

Метод прямоугольников посчитает почти всю необходимую площадь, здесь она окрашена в зелёный. Он упустит лишь тонкую полоску площади вблизи точки 2.05.

А что покажет метод трапеций?

Метод трапеций посчитает лишнюю площадь, окрашенную в красный, и ничто её не компенсирует, как это произошло в случае 1. Синим цветом показана реальная площадь под графиком, и красная площадь намного её превосходит.

Как видно из примеров, меняя всего лишь одно граничное значение подотрезка, можно добиваться различных соотношений эффективности двух методов, причём полученные в результате численного интегрирования ответы могут быть сколь угодно далеки от истины.

Зависимость качества интегрирования от параметра e