Двумерное уравнение Лапласа

Применение метода Фурье для уравнения Лапласа рассмотрим на конкретных примерах.

Задача 1. Внутренняя задача Дирихле для прямоугольника:

 в области  найти такое решение уравнения Лапласа

которое на контуре принимает заданные значения:

    Решение. Ищем решение tв виде

    Здесь функция  есть решение задачи (с однородностью по )

                                        (1)

    Функция  – решение задачи (с однородностью по )

                                    (2)

    А) Решение  задачи (1) ищем в виде

    После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем

    Для функции  получили знакомую задачу Штурма-Лиувилля: найти нетривиальные решения краевой задачи

и значения , при которых эти решения существуют. Для этой задачи

    Функции , соответствующие собственным значениям , определяются из уравнения

 

    Однородное краевое условие  приводит к соотношению

откуда находим  Тогда

    Заменим  и введем новую постоянную . Получим

.

    Теперь можем записать  функции :

.

Здесь обозначено .

Осталось составить ряд

             (3)

и подобрать коэффициенты  так, чтобы удовлетворялось неоднородное краевое условие . Получаем соотношение

                               .

    Значит,  – это коэффициенты разложения функции  в ряд Фурье по синусам на . Вычислим

    Получаем .

 

    И в решении (3) остается только одно слагаемое

    .

 

    Б) Решение  задачи (2) также ищем методом Фурье в виде

.

    Но здесь задачу Штурма – Лиувилля надо получить для функции  (однородность краевых условий по ). Поэтому после подстановки в уравнение, разделяя переменные, запишем

.

    Решением задачи

являются собственные функции ; собственные значения суть  Для определения функций  получаем уравнение

    Однородное условие  приводит к соотношению

.

    Тогда

                                

    После введения новой постоянной  можем записать

.

    Значит , .

    Составим ряд

                           (4)

    Определим коэффициенты  из краевого условия :

то есть  

Значит, .

Остается сложить найденные функции  и .:

. ●

 

Задача 2.  Внутренняя задача Дирихле для кругового сектора:

найти гармоническую функцию внутри сектора

,

удовлетворяющую  на границе условиям

.

    Решение. Перейдем к полярным координатам  и запишем оператор Лапласа в новой системе координат:

.

    Функция  есть решение задачи

 

,

Нетривиальное решение уравнения Лапласа ищем в виде .

После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем

.

    Для уравнения  запишем общее решение:

.

Из условий на прямолинейных границах сектора  следует, что . Тогда , ,  –собственные значения и  – собственные функции.

Заметим, что при  получаем  в силу условий .

 

Для функции  получаем уравнение Эйлера

Разыскиваем решение этого уравнения в виде . Тогда ,  и в результате приходим к характеристическому уравнению

Корни этого уравнения . Значит, при  линейно независимые частные решения суть  и , а общее решение записывается в виде

.

    В силу ограниченности решения при  следует положить . Поэтому функции  имеют вид

.

Здесь .

    Дальше действуем по стандартной схеме. Составляем ряд

Коэффициенты  подбираем так, чтобы удовлетворить условию :

.

Осталось разложить функцию   в ряд Фурье по синусам на :

.

    Ответ: . ●

 

    Задача 3. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению  в круге  при условии  (внутренняя задача Дирихле).

    Решение. Перейдем к полярным координатам  в уравнении и краевых условиях:

.

    Ищем решение в виде . После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем для функции  уравнение

.

общее решение которого

.

    Заметим, что в отличие от предыдущей задачи область здесь не сектор, где угол . Поэтому роль граничных условий по аргументу  играет периодичность функции . Действительно, увеличение аргумента  на  возвращает точку  в исходное положение; значит, все функции от , которые мы рассматриваем, должны быть периодическим по  с периодом . Таким образом, должно быть . Это возможно только при . Отрицательные  можем не рассматривать, так как знак  влияет только на знак постоянной . Итак,  – собственные числа и .– собственные функции.

    При  получим уравнение , решением которого является линейная функция . Условие  выполняется, если . Значит, собственному значению  соответствует собственная функция .

Для определения функций  получаем уравнение Эйлера

.

    Разыскивая решение этого уравнения в виде , приходим к характеристическому уравнению , корни которого . Значит, при  линейно независимые частные решения суть  и . Второе из этих решений мы должны отбросить, так как при  оно обращается в бесконечность в центре круга . При  получаем кратные корни , соответствующие линейно независимые решения суть  и . Логарифм отбрасываем из-за его неограниченности в нуле. Значит, общее решение уравнения Эйлера можно записать в виде

    Замечание. Если бы требовалось решить внешнюю задачу Дирихле (найти функцию, гармоническую вне круга, по известному ее значению на границе), то требование ограниченности решения на бесконечности привело бы к отбрасыванию частных решений  и .

 

    Получили функцию  в виде

,

    Составляем ряд

. (*)

    Коэффициенты  определим из условия на границе круга :

    Полагаем :

.

    Слева – разложение функции  в полный ряд Фурье на , справа – несколько слагаемых из такого ряда.

Сравниваем коэффициенты Фурье:

свободный член:

    Отличны от нуля только коэффициенты .

    Значит, из всего ряда (*) остаётся три слагаемых:

.

    Можно вернуться к переменным :

 ●

 

    Задача 4. Найти гармоническую в кольце  функцию, удовлетворяющую на границе условиям .

    Решение. Ищем решение уравнения  в области  в виде . Как показано в задаче 3, для функции  получаем

.

    Для определения функций  получаем уравнение Эйлера

.

    При  линейно независимые частные решения суть  и , а общее решение уравнения имеет вид

.

    При  линейно независимые решения суть  и , а общее решение

.

    Заметим, что все эти решения ограничены в заданной области.

    Составляем ряд

. (**)

    Подберем коэффициенты  так, чтобы удовлетворить граничным условиям.

    Полагаем :

.

Сравнивая коэффициенты, получаем соотношения:

Свободный член:

При  получаем

Ряд Фурье правой части содержит единственное слагаемое  Сравнивая коэффициенты, получим еще несколько соотношений:

 

Свободный член:

Для коэффициентов  имеем однородную систему с отличным от нуля определителем:

Коэффициенты  находим из системы:

 

 

    Наконец, для  получаем

Из бесконечного ряда (**) остается только слагаемое, соответствующее :

Можно преобразовать разность:

Ответ:  ●

Задача 5. Найти функцию , которая удовлетворяет внутри кольца  неоднородному уравнению

,

а на границе принимает значения .

    Решение. Ищем решение в виде

,

 где слагаемое  должно удовлетворять граничным условиям. Полагаем

Коэффициенты  определяем из системы

    Значит, .

    Функция  удовлетворяет однородным граничным условиям и неоднородному уравнению , то есть

 

    Представим правую часть в виде суммы

    Линейность уравнения позволяет и решение искать в виде суммы

в соответствии со слагаемыми в правой части уравнения. При этом можем считать, что каждая из функций  равна нулю на границе, т.е. при .

    1. Для правой части  ищем решение в виде .

    Так как , то функция  есть решение уравнения Эйлера

    Общее решение однородного уравнения . Частное решение  находим по виду правой части: . Тогда

.

    Общее решение неоднородного уравнения:

.

    Значит,

Условия  приводят к системе для определения :

       

    Получили функцию

    2. Для правой части  решение .

    Так как , то приходим к уравнению

    Общее решение однородного уравнения , частное решение . Очевидно, , тогда .

    Далее

    Получили функцию .

    3. Для правой части  ищем решение в виде .

Решая уравнение , находим частное решение , получаем , а затем и функцию

Остается сложить функции . ●