Прямоугольник. Ромб. Квадрат

Понятие прямоугольника всем знакомо с начальной школы. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

- противоположные стороны равны и параллельны;

- противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180 ;

- особо можно выделить, что все углы равны;

- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У прямоугольника есть особое свойство: диагонали прямоугольника равны.

Элементы	Свойства от параллелограмма	Особое свойство
Стороны	Противоположные стороны равны и параллельны
Углы	Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180	Все углы равны
Диагонали	Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам	Диагонали равны

Для доказательства рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD.

Прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по двум катетам, т.к. AD – общий катет, AB = CD. Следовательно, AC = BD.

Для того, чтобы определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником нужен признак прямоугольника. Он вытекает из особого свойства прямоугольника: если в паралеллограмме диагонали равны, то этот паралеллограмм – прямоугольник.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом, он обладает всеми его свойствами, а из определения ромба следует, что все стороны равны.

Ромб обладает и особым свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Элементы	Свойства от параллелограмма	Особое свойство
Стороны	Противоположные стороны равны и параллельны	Все стороны равны
Углы	Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180
Диагонали	Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам	Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам

Признаки ромба получаются из особого свойства ромба:

- если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом

- если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то он является ромбом.

Еще один знакомый с начальной школы четырёхугольник – это квадрат. Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами.

Площадь

Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

равные фигуры имеют равные площади;
если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей;
площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Площадь прямоугольника можно найти следующим образом:

S = ab, где a и b – стороны прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого стороны равны, а, значит, площадь квадрата со стороной a равна a , то есть S = a , где а – его сторона.

Площадь квадрата можно также вычислить по формуле S = d /2,

где d – диагональ квадрата.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть вычисляется по формуле S = ah,

где а – его сторона, h – высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма можно вычислить и по формуле

S = ab sin α, где а и b – стороны, α – угол параллелограмма.

Ромб – «частный случай» параллелограмма, значит, его площадь можно находить так же, как и площадь параллелограмма. Кроме того, имеются и другие формулы площади ромба:

S = a2 sin α, где а – сторона ромба, α – угол ромба;

S = 1/2 d1 d2, где d1и d2 – диагонали ромба.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть её можно найти по формуле

S = 1/2 ah.

Есть и другие формулы для нахождения площади треугольника:

S = 1/2 ab sin γ,

где а и b – стороны, γ – угол между этими сторонами.

При необходимости для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона, древнегреческого учёного, который жил в Александрии в I веке нашей эры:

, где а, b, с – стороны треугольника, p – его полупериметр p = (а + b + с)/2.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = (а + b) / 2 · h, где а и b – основания трапеции, h – высота.

3. Разомнись и потанцуй под хорошую музыку

https://zvideox.ru/watch/Ksli61pE2SI/fizminutka-tanets/

4.Рассмотрим решение задач по теме:

Задача 1.

На сторонах АВ и CD прямоугольника АВСD взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.