Построение и вычисление выражений

Методические указания

по проведению учебно-технологической практики (УТП)

в группах первого курса

 

 

Математический пакет MathCAD

 

 

Москва, 2016

Цель преподавания УТП – содействие формированию профессиональных компетенций при проведении инженерных расчетов с использованием математического пакета MathCAD в общепрофессиональной, производственно-технологической и научно-исследовательской деятельности.

Задачами преподавания УТП являются освоение:

- основных возможностей пакета;

- первичных навыков построения и вычисления выражений, редактирования объектов, работы с дискретными переменными, таблицами, графиками;

- первичных навыков программирования;

- первичных навыков символьных вычислений, дифференцирования и интегрирования выражений;

- правил техники безопасности и внутреннего распорядка.

Прохождение распределенной практики (практикума) заключается в проведении аудиторных занятий с предоставлением каждому студенту индивидуального рабочего места, оборудованного персональным компьютером с программным обеспечением, и самостоятельной работы студентов над учебным пособием и указанной литературой по дисциплине. Во время аудиторных занятий проводятся индивидуальная и коллективная консультации студентов с преподавателем.

Основные сведения о MathCAD

MathCAD – инструмент для работы инженеров, мощный калькулятор, имеющий следующие преимущества:

- запись математических выражений в обычном инженерном виде;

- простота использования;

- возможность создания качественных технических отчетов с таблицами, графиками, текстом;

- дискретная переменная, позволяющая вычислять одновременно функцию для целого ряда аргументов.

Рабочее окно MathCAD выглядит аналогично другим Windows приложениям. Главное меню – верхняя строка рабочего окна. В нём можно выполнить любые действия. Панели инструментов – для быстрого выполнения часто применяемых команд:

- стандартная для действий с файлами, редактирования, вставки;

- форматирования текста и документов;

- математическая для вставки математических символов и операторов.

Нажатие кнопок математической панели открывает дополнительные панели, с помощью которых можно вставить в документ символ или шаблон операции.

При наведении указателя мыши на кнопки панели инструментов появляются всплывающие подсказки с названием операции и сочетанием клавиш, нажатие которых эквивалентно щелчку на данной кнопке.

Построение и вычисление выражений

Имя выражения может состоять из латинских, русских, греческих и др. букв и цифр, но не может начинаться с цифры. Прописные и строчные буквы воспринимаются как разные. Некоторые имена уже использованы для встроенных констант, единиц измерения, функций. Оператор присваивания := с клавиатуры вводится клавишей: или кнопкой := с панелей инструментов. Ввод оператора = эквивалентен команде «вычислить». Все переменные и выражения в вычисляемой части должны быть определены заранее. Клавишей пробела можно выделить нужную часть выражения.

Цепкие операторы – возведение в степень, извлечение корня, деление. Следующий вводимый оператор будет относиться ко всему выражению, если его выделить клавишами пробела или  ®.

MathCAD содержит более 200 встроенных функций, открываемых клавишей «Вставить функцию». Некоторые из них не совпадают с привычной математической записью. Название функции можно также набрать на клавиатуре.

Функция пользователя – многократно вычисляемое выражение, заданное пользователем: слева название функции, оператор :=, справа вычисляемое выражение. Переменные величины, входящие в правую часть, должны быть записаны в качестве параметров в скобках после имени функции. Все величины из правой части, не являющиеся параметрами левой, должны быть заданы левее и выше функции пользователя. Функция пользователя не вычисляется, а принимается к сведению. Для её вычисления надо задать численные значения всех параметров в имени функции, набрать имя функции и нажать клавишу   = («вычислить»).

Дискретная переменная – ряд чисел, выстроенных в порядке возрастания или убывания. В частности, для функции пользователя дискретная переменная определяет ряд значений, для которых она вычисляется. Этот ряд даёт возможность его вывода в виде таблицы или графика. Дискретной переменной можно задавать как целые, так и дробные значения, но только равноотстоящие друг от друга. Например:

- x:= 0..5 – переменной x присвоить значения ряда целых чисел от 0 до 5;

- x:= 2, 2.1..8 – переменной x присвоить ряд дробных чисел: 2 – первое число, 2.1 – второе число, 8 – последнее число; интервал между числами равен 0.1;

- x:= А,  .. В – переменной x присвоить ряд чисел: А – первое число,  – второе число, В – последнее число, n – число интервалов, на которые разбит отрезок от А до В.

Последняя форма задания дискретной переменной удобна возможностью быстрого изменения констант А и В с целью пересчета результата или перестройки графика. Знак диапазона дискретной переменной (две точки) вводится только клавишей; или с панели «Матрицы» математической панели.

Формат числа, являющегося результатом расчета, может быть установлен пользователем. Для этого нужно дважды щёлкнуть указателем мыши на результате расчета и в появившемся окне форматирования чисел выбрать желаемый формат.

Введенные внутри математического выражения латинская буква  e и греческая буква p воспринимаются соответственно как основание натурального логарифма (e=2,718) и p=3,141593.

Редактирование объектов в MathCAD очень похоже на действия в текстовом редакторе Word:

- курсор перемещается по экрану клавишами со стрелками или щелчком левой кнопкой мыши в нужном месте экрана;

- перед вводом оператора, относящегося к части выражения или всему выражению, нужно выделить эту часть синим уголком курсора, охватывая им нужные символы слева или справа и пользуясь для этого клавишами со стрелками или клавишей пробела;

- для выделения выражения или его части нужно нажать кнопку мыши в начале или конце выделяемой части и, не отпуская кнопку, переместить указатель в другой край выделяемой части;

- выделенная чёрным фоном часть выражения используется для его вырезания, копирования или изменения шрифта;

- для выделения объекта или группы объектов нужно нажать кнопку мыши на свободном месте документа и, растянув зону выделения в виде пунктирного прямоугольника с захватом выделяемых объектов, отпустить кнопку;

- переместить выделенный объект можно указателем мыши при нажатой левой кнопке;

- если объект нужно скопировать, а не переместить, то при перетаскивании следует удерживать нажатой клавишу Ctrl.

Ввод текста в документ осуществляется символом ² (двойная кавычка) в обеих раскладках клавиатуры или с панели инструментов («вставить» · «область текста»). В свою очередь, в текстовую область можно вставить математическую («вставить» · «область математики»). Размеры текстовой области можно менять обычным для Windows способом. Изменение стиля текстовой области не влияет на результаты расчета математических выражений.

Построение графиков

В MathCAD доступно построение семи основных типов графиков, два из которых относятся к категории двумерных (декартовые и полярные), остальные трёхмерные.

Создание графической области возможно несколькими способами:

- через главное меню «вставить» · «графики» · выбор нужного типа;

- щелчком на кнопке нужного типа графика панели «Графики» математической панели;

- нажатием на клавишу  @ в английской раскладке клавиатуры.

Рассмотрим построение двумерного “X-Y” графика как наиболее распространённого. В появившемся шаблоне двумерного графика на оси абсцисс необходимо ввести имя аргумента, а на оси ординат имя функции или выражение, содержащее аргумент и определённые заранее константы. Если затем щёлкнуть мышью вне шаблона графика, то появится график функции или выражения в пределах значений аргумента от – 10 до +10. Другой (требуемый) диапазон изменения значений аргумента может быть установлен принудительным введением соответствующих значений в маркерные позиции по оси абсцисс. Аналогично может быть изменён диапазон значений по оси ординат.

При необходимости размещения графиков нескольких функций или выражений следует ввести имена функций или выражения на оси ординат. Для этого необходимо поместить синий уголок курсора в конец первого имени на графике и нажать клавишу, (запятая) В появившемся месте ввода необходимо вписать имя второй функции или второе выражение и т.д.

Для двух функций, имеющих разные аргументы, необходимо на оси ординат ввести имена обеих функций, а на оси абсцисс имена обоих аргументов. Если функций на графике больше двух, а аргументов два, то график первой функции будет построен по первому аргументу, а остальных функций – по второму. Введение по осям ординат и абсцисс имён двух функций одного аргумента приводит к построению параметрического графика. На одном графике можно помещать до 16 функций.

Для придания графику желаемого вида его необходимо отформатировать. Двойной щелчок указателем мыши в области графика приводит к открытию диалогового окна форматирования графика, с помощью которого можно существенным образом изменять внешний вид графика, меняя вид, цвет и толщину линий, вводя на график сетку и метки. Изменение размера и перемещение графика можно осуществить обычным растягиванием его рамки или перетаскиванием с помощью мыши.

Для создания трёхмерного графика, также как и в случае двумерного, необходимо создать графическую область одним из способов:

- через главное меню «вставить» · «графики» · выбор нужного типа;

- щелчком на кнопке нужного типа графика панели «Графики» математической панели;

- одновременным нажатием на клавиши Ctrl и 2 при любой раскладке клавиатуры.

В появившемся шаблоне вместо единственного выделенного курсором маркера необходимо ввести сокращённое имя функции (без скобок и перечисления переменных) или имя сформированного заранее массива, для которых будет строиться график. В отличие от двумерного графика в позиции маркера запись выражения не допускается.

Первоначально график строится в пределах изменения аргументов от –5 до +5. Двойной щелчок указателем мыши в области графика приводит к открытию диалогового окна форматирования, с помощью которого ему можно придать желаемый вид.

Работа с массивами

Массивами (arrays) называют упорядоченные последовательности чисел или элементов массива. Доступ к любому элементу массива возможен по его индексу (номеру).

В MathCAD условно выделяются два типа массивов:

- векторы (одно индексные), матрицы (двух индексные) и тензоры (многоиндексные) массивы;

- дискретные (ранжированные) переменные (range variables) – векторы, элементы которых определенным образом зависят от их индекса.

Имя массива задаётся также как и имя выражения, но в отличие от последнего может иметь один или несколько индексов. Например, если А – это заданный ранее вектор, то введение символов “А” и “=” приведёт к выводу всех значений этого вектора. В MathCAD имеются операторы и встроенные функции, которые действуют на векторы и матрицы целиком, например, транспонирование, матричное умножение, вычисление определителя и т. д.

Над элементами массива можно совершать действия как над обычными числами. Для действий над одним элементом вектора А должен быть указан его индекс, например запись А₃ однозначно определяет третий элемент этого вектора. Нужно только правильно задать соответствующий индекс или сочетание индексов массива. Например, чтобы получить доступ к нулевому элементу вектора А, нужно ввести имя переменной массива (А), нажать кнопку Subscript (нижний индекс) со значком х_n на панели Matrix (Матрица) либо ввести [. В появившийся справа снизу от имени массива место заполнитель вводится желаемый индекс (0). Если после этого ввести знак численного вывода, то справа от него появится значение нулевого элемента вектора. Для двух знаковой индексации и более индексы указываются через запятую.

Начало нумерации элементов в векторах и матрицах определяется встроенной переменной ORIGIN. По умолчанию ORIGIN = 0, т.е. первые элементы столбцов и строк имеют нулевой индекс. Такую индексацию можно изменить, например, набрав прописными буквами строку ORIGIN = 1 или другим способом. Необходимо помнить, что некоторые встроенные функции MathCAD по умолчанию подразумевают наличие нулевого индекса.

Существует три способа создания массива:

- заполнение шаблона матрицы, содержащего пустые места для ввода чисел («вставить» · «матрица») с выбором количества строк и столбцов;

- использование дискретной переменной, что удобно при наличии формулы для вычисления элементов массива;

- считывание данных из файла.

Существует ещё один способ создания матрицы (вектора). В необходимом месте листа набираем имя массива с соответствующей индексацией в виде конкретных чисел или букв, которые, впрочем, должны быть определены заранее, и присваиваем ему значение ноль. Например, А₉:= 0. При этом будет сформирован вектор А из девяти элементов и всем его элементам будут присвоены нулевые значения. Далее можно вывести полученный массив на лист и вместо нулей ввести требуемые значения.

При вводе больших векторов для экономии места удобно формировать их в виде строки. Однако матричные операторы и функции работают только со столбцами, а не строками, поэтому для выполнения действий со строками их надо транспонировать, а после выполнения операций вновь транспонировать в столбцы. Транспонирование – операция, преобразующая столбцы исходной матрицы в строки, а строки в столбцы.

Для считывания данных из файла в MathCAD используется функция READPRN(“file”), где “file” – имя файла или путь к нему, если он находится в другом каталоге. Функция WRITEPRN(“file”) осуществляет запись числовых данных в файл. Функция sort(A) позволяет осуществить сортировку элементов вектора А в порядке возрастания, а функция reverse (A) – в порядке убывания. Операции сложения, вычитания, умножения и деления, применённые к имени массива без индексации его элементов и числу z, приводят к соответствующим действиям с каждым элементом массива. Например, оператор A+z приводит к сложению каждого элемента массива А с числом z.

Двойной щелчок в области отображения массива вызывает меню форматирования результата, с помощью которого можно придать массиву желаемый вид.