Математическая статистика

MathCAD предоставляет широкие возможности для работы со статистическими рядами, полученными в ходе эксперимента, либо в результате генерации случайных чисел. Встроенные функции обеспечивают работу со всеми основными типами распределений. Так, например, чтобы воспользоваться функцией плотности вероятности нормально распределённой величины необходимо набрать на клавиатуре dnorm(x,M,s), где x – аргумент функции, M – математическое ожидание, s – среднеквадратическое отклонение. Эту же функцию можно вызвать через главное меню кнопкой «Вставить». В появившемся шаблоне необходимо заполнить три место заполнителя (x,M,s).

Для плотностей других распределений в имени функции после первой буквы d необходимо поставить соответствующее буквосочетание, например:

- dF(x,k,n) – распределение Фишера, где k, n – степени свободы;

- dexp(x,a) – экспоненциальное распределение, где a – показатель экспоненты;

- dunif(x,a,b) – равномерное распределение, где a < b – границы интервала;

- dt(x,k) – распределение Стьюдента, где k – число степеней свободы.

Для обработки статистических рядов имеются встроенные функции, вызываемые как набором на клавиатуре, так и через главное меню:

- mean(X) – определение выборочного среднего значения (оценки) случайной величины X;

- var(X) – определение выборочной дисперсии (оценки) случайной величины X;

- median(X) – определение выборочной медианы (значения функции X, делящего гистограмму плотности вероятностей пополам);

- min(X), Max(X) – определение минимального и максимального значения выборки (статистического ряда);

- mode(X) – определение наиболее часто встречающегося значения выборки;

- corr(X,Y) – определение коэффициента корреляции двух выборок;

- ceil(X) – определение наименьшего целого, не меньшего X;

- floor(X) – определение наибольшего целого, меньшего или равного X;

- gmean(X) – определение геометрического среднего значения выборки.

Первоначальную оценку закона распределения случайной величины позволяет сделать анализ гистограммы – графика, аппроксимирующего плотность распределения по случайным данным. Для его построения область значений случайной величины разбивается на некоторое число сегментов (bin), после чего учитывается число (процент) попаданий данных в каждый сегмент. Эти проценты, графически выраженные в виде масштабного столбика над своим сегментом данных, и представляют собой гистограмму случайной величины.

Для построения гистограмм предназначена встроенная функция hist(int,X), где X – вектор случайных данных, int – вектор, задающий сегменты построения гистограммы в порядке возрастания и зависящий от их количества bin. Гистограмма строится как двумерный график; в диалоговом окне «Форматирование» необходимо задать вид графика: столбцы (bar) или гистограмма (solidbar). Для анализа на этом же графике можно построить кривую плотности распределения предполагаемого закона, которому подчиняется случайная величина.

Функция hist выдаёт вектор, состоящий из значений, каждое из которых равно числу попаданий случайной величины в соответствующий сегмент гистограммы. Поэтому следует обратить внимание на нормировку гистограммы. Так как интеграл от функции плотности вероятностей по всей области возможных значений равен единице, то и сумма площадей всех столбцов гистограммы должна равняться единице. Только в этом случае можно сравнивать аппроксимацию гистограммой с кривой предполагаемой плотности распределения.

Функция hist привязывает каждый столбец гистограммы к левой границе сегмента. Привязать столбцы к середине сегмента перед построением графика можно переопределением вектора int.

В заключение небольшое замечание относительно тригонометрических функций в MathCAD. В полном объёме представлены как прямые, так и обратные тригонометрические функции. Имеется даже дополнительная функция angle(x,y), определяющая угол между осью 0X и направлением на точку с координатами (x, y), которая может быть полезна в некоторых расчётах. Но следует помнить, что аргументы прямых тригонометрических функций и результаты обратных тригонометрических преобразований выражаются в радианах.

Задания для самостоятельной работы

Занятие 1