Почленное интегрирование и дифференцирование

Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида  или, в общем случае, . Поскольку при замене  ряд  переходит в ряд , достаточно рассмотреть ряды вида .

Лемма Абеля. Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения  такого, что .

Доказательство. Поскольку числовой ряд  сходится, то . Взяв , из определения бесконечно малой последовательности получим, что найдется такой номер , что при . Тогда для любого значения  такого, что , будет выполняться неравенство . Так как , геометрический ряд  сходится. Значит, по первой теореме сравнения, сходится и ряд , т.е. исходный ряд сходится абсолютно.

Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.

Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд  сходится в точке . Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд .

Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.

В первом из них множество чисел  таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой. Действительно  выберем  так, чтобы, во-первых,  и, во-вторых, ряд  сходился. Тогда по лемме Абеля ряд  абсолютно сходится.

Во втором случае множество чисел  таких, что ряд  сходится, ограничено сверху. Обозначим через  точную верхнюю грань этого множества. Число  называется радиусом сходимости ряда. Из определения  следует, что:

1. Если , то ряд  абсолютно сходится;

2. Если , то ряд  расходится.

В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой , полагают .

В точках  сходимость соответствующих числовых рядов исследуется дополнительно, т.к. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, сходящиеся лишь в одной из них или расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже.

Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить  - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд . Применим к его исследованию признак Даламбера. . Если существует , и если , то ряд сходится. Если же , то, начиная с некоторого места,  и общий член  ряда  не стремится к 0, но тогда и общий член  ряда  не стремится к 0 и ряд расходится.

Иными словами, ряд сходится при  и расходится при . Таким образом, число  представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если , то  при всех  и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством ).

Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду  признак Коши. . Пусть существует . Тогда, как и выше, при  ряд сходится, а при  расходится. Поэтому  (при , разумеется, ).

Подводя итог этим рассуждениям, сформулируем следующую теорему.

Теорема. Коши-Адамара. Пусть существует конечный или бесконечный верхний предел . Тогда если

· , то ряд сходится на всей числовой оси, ;

· , то ряд сходится только в одной точке ;

· , то ряд сходится на промежутке , где   ирасходится при .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для этого ряда  и . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 2. Здесь  и . В точках  ряд, очевидно, расходится.

Пример 3. Для этого ряда  и . В точке  числовой ряд сходится по теореме Лейбница. В точке  гармонический ряд  расходится.

Пример 4. Здесь для нечетных номеров и - для четных. Поэтому  и . В точках  получается условно сходящийся ряд .

Пример 5. . Здесь  и . В точках  имеем ряд , который абсолютно сходится.

Теорема. Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на , где  - радиус сходимости ряда.

Доказательство.

Лемма. Пусть . Тогда  сходится на множестве  абсолютно и равномерно.

Доказательство. Так как , ряд  сходится. И т.к. , то можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.

Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, геометрический пядя  сходится на   неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .

Пусть теперь , т.е. . Выберем  так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на  абсолютно и равномерно. Поскольку все функции  - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на  функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке  интервала .

Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть ,  и в некоторой окрестности точки . Тогда .

Доказательство. При  получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда  и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).

Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.

Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то  (т.е. сумма ряда непрерывна слева).

Теорема. Для любого .

Доказательство. Пусть  удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на  и его можно почленно интегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.

Аналогично справедлива и теорема о почленном дифференцировании, приведем её без доказательства.

Теорема. Для любого .

Важное замечание. Радиус сходимости степенного ряда не меняется при его почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках  может меняться. Например, ряд  сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а геометрический ряд , получающийся при дифференцировании ряда  (сходящегося на ), сходится на .

Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . ,  и т.д. .

Следовательно, . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .

Если  имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция  имеет производные произвольного порядка в точке  и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции  сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток  должен стремиться к 0 при .