Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в общем случае, . Поскольку при замене ряд переходит в ряд , достаточно рассмотреть ряды вида .
Лемма Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что .
Доказательство. Поскольку числовой ряд сходится, то . Взяв , из определения бесконечно малой последовательности получим, что найдется такой номер , что при . Тогда для любого значения такого, что , будет выполняться неравенство . Так как , геометрический ряд сходится. Значит, по первой теореме сравнения, сходится и ряд , т.е. исходный ряд сходится абсолютно.
Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.
Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке . Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд .
Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.
В первом из них множество чисел таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой. Действительно выберем так, чтобы, во-первых, и, во-вторых, ряд сходился. Тогда по лемме Абеля ряд абсолютно сходится.
|
|
Во втором случае множество чисел таких, что ряд сходится, ограничено сверху. Обозначим через точную верхнюю грань этого множества. Число называется радиусом сходимости ряда. Из определения следует, что:
1. Если , то ряд абсолютно сходится;
2. Если , то ряд расходится.
В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой , полагают .
В точках сходимость соответствующих числовых рядов исследуется дополнительно, т.к. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, сходящиеся лишь в одной из них или расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже.
Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд . Применим к его исследованию признак Даламбера. . Если существует , и если , то ряд сходится. Если же , то, начиная с некоторого места, и общий член ряда не стремится к 0, но тогда и общий член ряда не стремится к 0 и ряд расходится.
Иными словами, ряд сходится при и расходится при . Таким образом, число представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если , то при всех и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством ).
Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду признак Коши. . Пусть существует . Тогда, как и выше, при ряд сходится, а при расходится. Поэтому (при , разумеется, ).
|
|
Подводя итог этим рассуждениям, сформулируем следующую теорему.
Теорема. Коши-Адамара. Пусть существует конечный или бесконечный верхний предел . Тогда если
· , то ряд сходится на всей числовой оси, ;
· , то ряд сходится только в одной точке ;
· , то ряд сходится на промежутке , где ирасходится при .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Для этого ряда и . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
Пример 2. Здесь и . В точках ряд, очевидно, расходится.
Пример 3. Для этого ряда и . В точке числовой ряд сходится по теореме Лейбница. В точке гармонический ряд расходится.
Пример 4. Здесь для нечетных номеров и - для четных. Поэтому и . В точках получается условно сходящийся ряд .
Пример 5. . Здесь и . В точках имеем ряд , который абсолютно сходится.
Теорема. Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на , где - радиус сходимости ряда.
Доказательство.
Лемма. Пусть . Тогда сходится на множестве абсолютно и равномерно.
Доказательство. Так как , ряд сходится. И т.к. , то можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.
Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, геометрический пядя сходится на неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .
Пусть теперь , т.е. . Выберем так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на абсолютно и равномерно. Поскольку все функции - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке интервала .
Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть , и в некоторой окрестности точки . Тогда .
Доказательство. При получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).
Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.
Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то (т.е. сумма ряда непрерывна слева).
Теорема. Для любого .
Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на и его можно почленно интегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.
Аналогично справедлива и теорема о почленном дифференцировании, приведем её без доказательства.
Теорема. Для любого .
Важное замечание. Радиус сходимости степенного ряда не меняется при его почленном интегрировании и дифференцировании.
Однако поведение в концевых точках может меняться. Например, ряд сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а геометрический ряд , получающийся при дифференцировании ряда (сходящегося на ), сходится на .
Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . , и т.д. .
Следовательно, . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .
Если имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .
Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция имеет производные произвольного порядка в точке и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток должен стремиться к 0 при .
|
|