2020-06-08
91
Разложение 
.
Для получения разложения 
заметим, что 
, и для любого отрезка мы получаем: 
. Данный ряд сходится на всей числовой оси.
Для получения разложения 
заметим, что 
, для разложения 
производная любого порядка может быть вычислена по формуле 
Поэтому 
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Представляя функцию 
как сумму бесконечной убывающей прогрессии со знаменателем 
: 
. Интегрируя это разложение в пределах от 0 до 
, получим: 
. Это равенство справедливо при 
. Кроме того, т.к. ряд 
сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при 
.
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Далее, как и выше, при 
. Поэтому, при 
. Кроме того, ряд 
сходится. Значит, написанное выше разложение имеет место и при 
.
Разложение бинома 
.
Если обозначить 
, то 
. Поэтому 
. Это разложение верно для всех 
, где 
- радиус сходимости. Для нахождения 
используем формулу 
. Кроме того, без доказательства, отметим, что при 
разложение справедливо и при 
, а при 
- для .
В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения 
.
|
|
|
Следствие 1. Легко видеть, 
. Поэтому 
при 
. Полагая 
, получаем, что 
и 
. Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.
Следствие 2. Формула Стирлинга.
Приведем эту формулу без доказательства. 
Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учебник: В 2 т. - М.: Наука, 1982. - Т.I. - 616 с.; 1983. - Т.2. - 447 с.
2. 1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник: В 2 т. - М.: Высш. шк., 1981. - Т. I. - 687 с.; 1981. - Т.2. - 584 с.
3. Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебник: В 2 т. - М.: Наука, 1983. - Т. I. - 464 с., 1983. - Т.2. - 448 с.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учебник: В 3 т. -М.: Наука, 1974. - Т.I. - Ч.I. - 323 с.; Т.3. - Ч.2 - 672 с.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1979. - 527 с.
6. Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М. Наука, 1969. – 430 с.
