Двумерное нормальное распределение

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина , распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности и однозначно определяется параметрами и .

(*)

В этой формуле , фиксированные параметры, = m – среднее, математическое ожидание, – стандартное отклонение, среднее квадратическое отклонение.

Начнём с того, что для функции выполнены свойства плотности вероятностей, а именно (почему?) и , откуда следует, что нормально распределённая случайная величина достоверно примет одно из действительных значений. Теоретически – какое угодно, практически – узнаем позже.

Любопытно отметить, что сам по себе неопределённый интеграл является неберущимся, однако указанный выше несобственный интеграл сходится и равен . Вычисления для простейшего случая можно найти здесь, все же остальные варианты сводятся к нему с помощью линейной замены .

Следующие замечательные факты я тоже приведу без доказательства:

– то есть, математическое ожидание нормально Xраспределённой случайной величины в точности равно «а», а среднее квадратическое отклонение в точности равно «сигме»: .

Эти значения выводятся с помощью общих формулматематического ожиданияидисперсии, и желающие / нуждающиеся могут ознакомиться с подробными выкладками в учебной литературе, и совсем здОрово, если вам удастся провести их самостоятельно.

.

Графики одномерного нормального распределения

Рисунок 1. График плотности нормального распределения: среднее равно 0, стандартное отклонение 1

                       Свойства плотности.

1.

2.

Домашнее задание

1. Доказать .

. Следовательно, свойства плотности выполняются.

 Графики плотности при различных параметрах приведены ниже.

Рисунок 2. График плотности стандартного нормального распределения с областями, содержащими 68% и 95% всех наблюдений

Рисунок 3. Графики плотностей нормальных распределений c нулевым средним и разными отклонениями ( =0.5, =1, =2)

Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно и имеет в этой точке единственный максимум, равный

Параметр стандартного отклонения меняется в пределах от 0 до ∞.

Среднее меняется в пределах от -∞ до +∞.

При увеличении параметра кривая растекается вдоль оси х, при стремлении к 0 сжимается вокруг среднего значения (параметр характеризует разброс, рассеяние).

При изменении кривая сдвигается вдоль оси х (см. графики).

Двумерное нормальное распределение

Одномерное нормальное распределение естественно обобщается на двумерное нормальное распределение.

Общая формула для двумерного нормального распределения имеет вид:

Где – парная корреляция между X₁ и X₂;

– среднее и стандартное отклонение переменной X₁ соответственно;

– среднее и стандартное отклонение переменной X₂ соответственно.

Если случайные величины Х₁ и Х₂ независимы, то корреляция равна 0, = 0, соответственно средний член в экспоненте зануляется, и мы имеем:

f(x₁,x₂) = f(x₁)*f(x₂)

Для независимых величин двумерная плотность распадается в произведение двух одномерных плотностей.