Евклидово пространство

Содержание

1.Что такое геомерия?.............................................................................................3

2.Тела вращения………………………………………………………..………….4

3. Изучение трехмерных геометрических фигур в начальной школе…………8

4. Анализ учебников………………………………………………………………9

5.Список литературы…………………………………………………………….21

Что такое геометрия?

Геоме́трия - раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Геометрия – одна из самых древних наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля, а «метрео» – мерить).

Геометрия – самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.

Геометрические объемные фигуры - это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве.

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница геометрического тела является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра геометрического тела.

Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты.

Трехмерные фигуры выделены двугранным или многогранным углом.

Двугранный угол – это пространственная геометрическая фигура, образованная двумя плоскостями, исходящими из одной прямой.

Многогранный угол – это фигура, составленная из N плоских углов, не лежащих в одной плоскости, причем несмежные углы не имеют общих точек. Общая точка этих углов называется вершиной.

Среди трехмерных фигур известны: призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр, икосаэдр, бипирамида, сфера, шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и вращающееся тело.

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Примеры тел, имеющих форму цилиндра:

Сквозное отверстие в стене, сделанное дрелью, является цилиндром: его основание – круг с диаметром, равным диаметру сверла, высота – толщина стены, а также бочка, кружка, труба.

Связанные определения:

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.

Свойства:

Основания цилиндра равны.

У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

У цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например вокруг стороны АВ. В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ – его высотой.

При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена – образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр - это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Бонавенту́ра Франче́ско Кавалье́ри (1598 — 30 ноября 1647) — итальянский математик, наиболее яркий представитель «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили еще до открытия математического анализа успешно решить множество задач аналитического характера.

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПЛОЩАДИ ОСНОВАНИЯ НА ВЫСОТУ

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объём цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен (Sh) произведению площади основания на высоту. поэтому и объём цилиндра равен (sh) произведению площади основания на высоту.

На рисунке изображён цилиндр с радиусом r и высотой h. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что получился прямоугольник АВВ1А1, стороны АВ и А1В1 которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра (рис. 361, б). Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Сторона АА1 прямоугольника равна длине окружности основания, а сторона АВ равна высоте цилиндра. (т. е. AA' = 2 πr, AB = h.)

Ко́нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Связанные определения:

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Свойства:

Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Образующие прямого конуса равны.

Боковая поверхность составлена из образующих.

Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Развертка конуса представляет собой круговой сектор, радиусом которого является образующая и круг.

Возьмём прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362). В результате получится тело, которое называется конусом. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ — его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим кондом А. Её называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, — образующими конуса. Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Рассмотрим теперь конус, у которого радиус основания равен r, а образующая равна l (рис. 363, а). Его боковую поверхность можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор (рис. 363, б). Радиус этого сектора равен образующей конуса, (т. е. равен l), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, (т. е. равна 2πr).

Площадь боковой поверхности конуса равна площади её развёртки, где α — градусная мера дуги сектора (см. рис. 363, б).

Шар и сфера

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а его оба конца — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Связанные определения:

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром.

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Свойства:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шар является его центром симметрии.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 364). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо её точкой, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. (диаметр сферы радиуса R равен 2R).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра (рис. 365). При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки. Для площади S сферы радиуса R получается формула:

S = 4 πR в квадрате.

Одной из целей начального обучения математике является освоение окружающего пространства, развитие пространственных представлений. Этому служит изучение геометрического материала: знакомство с телами, поверхностями, линиями, выделение фигур определённой формы.

Основными задачами изучения трехмерных геометрических фигур в 1-4 классах являются:

1) формирование пространственных представлений и развитие воображения, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать;

2) выработка у учащихся практических навыков измерения и построения геометрических фигур с помощью измерительных и чертежных инструментов;

3) формирование умений использовать наглядность в приобретении знаний.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры.

Анализ учебников:

УМК "ШКОЛА РОССИИ" М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова.
4 класс 2 часть с. 112 №2

- Нам нужно рассмотреть рисунки и назвать нарисованные предметы – елочка, колпачок, морковка. Чем они похожи? (они имеют одинаковую форму конуса), а также показана развертка конуса.

4 класс 2 часть с. 113 №1

- В этом задании говориться о том, что если свернуть в трубочку и склеить прямоугольный лист бумаги, получится предмет похожий на трубу. Если его закрыть с двух сторон кругами, получится модель цилиндра. А так же нужно рассмотреть рисунки и назвать предметы, которые имеют форму цилиндра (мука, баночка, коробка с чайными пакетиками).

4 класс 2 часть с. 113 №1,2

- В задании №1 нужно назвать нарисованные предметы – апельсин, арбуз, картофель.  Что у них общего? (они имеют форму шара). Так же нарисована модель шара.

- В задании номер 2 сравниваем квадрат и круг, куб и шар, квадрат и куб, круг и шар.(фигуры плоские -выпуклые, круглые- прямые). Так же нужно разбить фигуры на 2 группы разными способами: 1.кубы, шары и 2.по цвету.

 

УМК "Система развивающего обучения Л.В. Занкова" И.И. Аргинская,И.И. Ивановская, С.Н.Кормишина.
2 класс 2 часть с. 14 №297

- Разделите предметы на группы, предметы похожие на цилиндр (карандаш, ведро воды пачка фломастеров) и на призму (коробка молока, тортик, брусок)

2 класс 2 часть с. 30 №330

- В номере 330 нужно определить, какую форму имеют шляпы на рисунке (конус), остальные предметы похожи на пирамиду.

2 класс 2 часть с. 115 №524

- В этом номере мы объясняем, форму каких геометрических фигур имеют свечи (шар, конус, куб, цилиндр, пирамида, призма) и какие геометрические фигуры являются их основаниями (круг,круг, квадрат, круг, квадрат, пятиугольник).

2 класс 2 часть с. 120 №530

- В номере 530 нужно назвать фигуры, изображенные на рисунке. Какую форму имеют их основания? (круг, пирамида, цилиндр) (квадрат, треугольник, куб). Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия - (ребра, грани). Рассмотреть, есть ли на нижнем рисунке фигуры с гранями и какую форму имеют основания этих предметов (у всех кроме конуса есть грани, а у конуса образующая). На гранях этих предметов можно увидеть прямоугольник, треугольник.

3 класс 2 часть с. 33  №319

- Нужно назвать объемные тела, а так же какие способы использовали при их изображении: шестиугольная пирамида, цилиндр, четырехугольная пирамида, конус, куб, конус, цилиндр. изображены в виде чертежей с пунктирными линиями и закрашенные фигуры.

 3 класс 2 часть с. 67 №392

- Нужно сравнить фигуры и найти, как можно больше признаков сходства между ними (основание - круг, объемные, тела вращения). Различия: конус похож на треугольник, а цилиндр на прямоугольник.

Далее идут однотипные задания.

4 класс 1 часть с. 113 №255

- В данном номере, нужно начертить вид спереди, вид сбоку и вид сверху данного конуса. У какой фигуры виды спереди и сбоку такие же, как у конуса, а вид сверху не является кругом (пирамида).

4класс 2 часть с. 3 №275

- Разделите фигуры на 2 группы: 1 группа - плоские фигуры, 2 - объемные. Только плоские фигуры можно поместить в плоскость.

4класс 2 часть с. 11 №295

- На какие геометрические фигуры похожи предметы? (Похожи на цилиндр, шар, конус, отличаются объемом). Их можно назвать объемными. Объем это - хар-ка пространства занимаемого телом(определяется формой и линейными размерами).

УМК " Гармония" Н.Б. Истомина

2 класс 2 часть с. 94 № 293

- Нам нужно догадаться какие из геометрических фигур плоские, а какие объемные (плоские – круг пятиугольник квадрат, объемные – цилиндр пирамида конус куб и призма).

Далее идут подобные задания.

2 класс 2 часть с. 95 № 294

- Какая фигура лишняя в каждом ряду? (Пятиугольник и цилиндр)

3 класс 1 часть с. 9 № 25

- По какому признаку фигуры разложили на 2 группы. Слева форма круга, а справа квадрата, прямоугольника.

3 класс 1 часть с. 17 № 49

-Выберите геометрическое тело, которое нужно нарисовать.

4 класс 1 часть с. 16 № 44

- Какое геометрическое тело лишнее? (конус)

Далее идут похожие задания.

УМК "Перспективная начальная школа" А.Л. Чекин

3 класс 1 часть с. 21 №58

- Нам нужно определить, что пытался нарисовать Миша (шар).

4 класс 1 часть с.91 №310

- Как называются геометрические фигуры, которые имеют объем? (шар, конус, цилиндр, куб, пирамида).

4 класс 2 часть с. 81 № 269

- Из четырех одинаковых шаров составлена фигура, похожая на пирамиду. Из скольких еще одинаковых шаров можно составить «пирамиду»? (6,7 и тд.)

4 класс 2 часть с. 83 №273

- Мы уже знаем, что если быстро вращать модель круга относительно диаметра, то можно увидеть шар. Какую фигуру мы сможем увидеть, если быстро вращать модель прямоугольника относительно его стороны? (цилиндра)

УМК "Школа 2100" Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких

 2 класс 1 часть с.46 №3

- Назовите на рисунке сначала плоские, а потом объемные фигуры. Найдите в комнате предметы, форма которых похожа на форму некоторых объемных фигур на рисунке. (Плоские фигуры – четырехугольник, квадрат, круг, треугольник, прямоугольник, объемные фигуры – пирамида, конус, шар, цилиндр, куб, параллелепипед)

2 класс 1 часть с.47 №4

- Решите задачу.

2 класс 1 часть с.48 №1,№2,№3

- На какие группы можно разбить фигуры на рисунке? (плоские и объемные фигуры)

2 и 3 номер – однотипные задания.

2 класс 1 часть с.54 № 3

Формы каких предметов на рисунке похожи на пирамиду, шар, цилиндр? (мячик, шарик, коробочка, карандаш, бревно)

2 класс 2 часть с. 47 №7

- Рассмотрите рисунок, верно ли, что на рисунке все фигуры имеют объем, есть шар, 2 фигуры красные?

2 класс 3 часть с. 15 № 7

- Найдите на рисунке фигуру не зеленого и не оранжевого цвета. Эта фигура не куб и не конус. (пирамида)

Далее идут однотипные задания.

УМК "Перспектива" Л.Г. Петерсон

 2 класс 2 часть с. 34 №11

- Как называются фигуры на рисунке? Нарисуйте в тетради «фотографии» этих фигур сверху и спереди. (цилиндр, куб, конус, круг)

2 класс 3 часть с.40 №1

- Найди на рисунке линии, плоские и пространственные фигуры.

3 класс 1 часть с. 13 №2

- В данном номере, нужно назвать фигуры, расположенные внутри замкнутой линии (куб, конус, шар, пирамида) и фигуры, расположенные вне замкнутой линии (цилиндр, параллелепипед).

 

 

Список литературы:

 1. УМК «ШКОЛА РОССИИ» Математика. 4 класс. Учебник. Часть 2. Моро М.И., Бантова М.А.;

2. УМК " Гармония" Математика. Учебник. Истомина Н.Б;

3. УМК "Система развивающего обучения Л.В. Занкова" И.И. Аргинская,И.И. Ивановская, С.Н.Кормишина;

4. УМК "Перспектива" Л.Г. Петерсон;

5. УМК "Школа 2100" Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких;

6. УМК "Перспективная начальная школа" А.Л. Чекин;

7. Геометрия. 7—9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 383 с