II. Задачи для повторения. Обязательно рассмотрите решения и по желанию выполните задания по образцу

I. Необходимые для решения формулы

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом, которое называется d – разность арифметической прогрессии.

d = a _n+1 - a _n, т. е. d = а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₄ – а₃ = а₅ – а₄ = …

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a _n  = a₁ + d (n - 1).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:  S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n) ∙ n.

                                                                             S _n = 0,5∙ (2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n.

 

II. Задачи для повторения. Обязательно рассмотрите решения и по желанию выполните задания по образцу.

Задача 1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n =8 + 3n. Найдите a₁₀ Решение:

Так как n = 10, то a₁₀ =8 + 3∙10 = 8 + 30 = 38

Ответ: 38.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n = 8,5 + 3,7n. Найдите a₁₀

2) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями  a_n = -11,9+7,8n. Найдите a₁₀

3) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n = 3,8 + 2,5n. Найдите a₆

Задача 2. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии - 2, 7, 16. Найдите 10-й член прогрессии и сумму первых 10 членов прогрессии.

Решение:

а₁ = - 2

а₂ = 7

а₃ = 16

d = а₂ – а₁ = 7 – (-2) = 7 + 2 = 9

Так как a _n  = a₁ + d∙ (n - 1) и n = 10 (надо найдите 10-й член прогрессии), то

а₁₀ = -2 + 9∙(10 – 1) = -2 + 9∙9 = -2 + 81 = 79

Та как S = 0,5∙ (а₁ + a _n) ∙ n, то S ₁₀ = 0,5∙ (-2 + 79) ∙ 10 = 0,5∙ 10∙ (-2 + 79) = 5 ∙ 77 = 385

Ответ: а₁₀ = 79 и S ₁₀ = 385

Задачи для самостоятельного решения:

 1) −6; 1; 8; … Найдите 16-й член этой прогрессии и сумму первых 16 членов прогрессии.

 2) 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии и сумму первых 7 членов прогрессии.

3) −9; −5; −1; … Найдите 8-й член этой прогрессии и сумму первых 8 членов прогрессии.

4) −17; −14; −11; … Найдите 15-й член этой прогрессии и сумму первых 15 членов прогрессии

Задача 3. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

…;   19;  х;   11;  7; …

Решение:

а₂ = 19

а₃ = х

а₄ = 11

Так как   2d = а₄ – а₂ = 11 – 19 = - 8 и d = -8:2 = -4

Так как a ₃  = a₂ + d∙ = 19 + (-4) = 19 – 4 = 15

Ответ: а₃= 15

Задачи для самостоятельного решения:

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

1) …;   11;  x; 19; 23; …

2) …; -9; x; -13;   - 15; …

3) …;   7;    x;   13;    16; …

4) …;  - 6;  x;  -2;   0; … 

Задача 4. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый положительный член этой прогрессии. 1) −39; −30; −21; …

Решение:

а₁ = - 39

а₂ = - 30

а₃ = - 21

d = а₂ – а₁ = - 30 – (-39) = -30+39 = 9

Так как a _n  = a₁ + d∙ (n - 1) и n = х (так как порядковый номер член прогрессии неизвестен) и х >0, то

- 39 +9(х – 1) >0  или 9(х – 1) >39   или       х – 1 >39: 9 или х – 1 >4,3 или х >5,3

Так как х – порядковый номер, то есть число натуральное и х = 6.

а₆= - 39 + 9∙(6 – 1) = -39 + 45 = 6

Ответ: 6.

Задачи для самостоятельного решения:

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

 1) 93;     85,5;     78; …

2) 28;      26;   24; …

3) 36;      33;         30; …

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый положительный член этой прогрессии.

4) −57;    −44;       −31; …

5) −87;     −69;      −51; …

Занятие 5. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 496.

Решение:

Так как числа натуральные, то а₁ = 1, а₂ = 2, d = а₂ – а₁ = 2 – 1 = 1.

По формуле  S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n) ∙ n,

то S _n = 0,5∙ (1 + n) ∙ n < 496.

Получаем неравенство: 0,5∙ (1 + n) ∙ n <496

Введем функцию f (n) = 0,5∙ (1 + n) ∙ n - 496 и найдем нули этой функции.

 Получаем квадратное уравнение:

(1 + n) ∙ n - 496∙2= 0 или (1 + n) ∙ n – 992=0 или n² + n - 992 =0

D = 1² - 4∙1∙(-992) = 1 + 3968 = 3969 уравнение имеет два корня

n₁=

n₂ = посторонний, так как отрицательный.

Нам нужно натуральное число n <31, следовательно, n = 30.

Нужно сложить 30 чисел

Проверка:

S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n) ∙ n = 0,5∙ (1 + 30) ∙ 301 = 0,5∙ 30 ∙ 31 = 15∙31 = 465

Ответ: 30

Задачи для самостоятельного решения:

1) Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 435?

2) Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 542?

3) Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 378?

4) Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 725?