VI. Задачи для любителей математики

Олимпиадные задачи.

Задача 1. (1998-1999)

 Последовательность a₁, a₂, a₃,..., задана первыми двумя числами a₁=2, a₂=3 и правилом  (n=1, 2, 3,...). Найдите а₁₉₉₉

Решение: Вычислим несколько членов последовательности:

a₁ = 2,                a₂ = 3,         a₃ = 3/2,        a₄ = 3/2: 3 = 1/2, a₅ = 1/2: 3/2 = 1/3,

a₆ = 1/3: 1/2=  2/3,                 a₇ = 2/3: 1/3 = 2,         a₈ = 2: 2/3 = 3,      a₉ = 3: 2=3/2,

a₁₀ = 3/2: 3 = 1/2,   a₁₁ = 1/2: 3/2 = 1/3,         a₁₂ = 1/3: 1/2= 2/3, a₁₃ = 2/3: 1/3 = 2…

Получили, что числа повторяются через каждые шесть.

1999 = 6∙333 + 1, тогда a₁₉₉₉ = 2.

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения:

1) (2005-2006) Дана последовательность чисел 10100100010000100000…..Какая цифра находится на 2005 месте?

2) (1998-1999) Последовательность чисел начинается с х ₁ = 1999, а каждое следующее число получается из предыдущего по правилу Найдите х ₁₉₉₉.

Ответы на задания и решения высылать на электронную почту ddut_maths@rambler.ru