2020-06-08
74
Пусть дана плоскость 
, которая перпендикулярна вектору 
(рис. 9). Найдите угол между этой плоскостью и прямой 
, где 
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Решение
Будем следовать плану:
1) найдем координаты вектора 
(из конца вектора вычтем начало): 
;
2) найдем косинус угла между вектором и вектором 
: 
;
3) вспомним, что 
. Значит, 
;
4) 
Ответ: 
.
Может возникнуть вопрос: что делать, если нам не дан в условии вектор, перпендикулярный плоскости? Мы отмечали, что это вектор нормали к плоскости, а его координаты можно взять из уравнения плоскости.
Задача (не дан вектор нормали)
В прямоугольном параллелепипеде 
, 
. Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
(рис. 10).
Рис. 10. Нужно найти угол между и плоскостью
Решение
1. Введем систему координат: 
(рис. 11).
Рис. 11. Введение систему координат
2. Найдем вектор 
(из координат конца, вычтем координаты начала): 
.
3. Составим уравнение плоскости .
Уравнение плоскости имеет вид: 
. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
, подставив их координаты в общее уравнение плоскости. Получим: 
.
Уравнение плоскости имеет вид: 
, то есть 
. Значит, вектор нормали к плоскости имеет координаты 
– коэффициенты уравнения плоскости.
4. 
.
5. 
Ответ: 
.
Пример
В правильной треугольной пирамиде 
с основанием 
известны ребра 
и 
, 
– середина ребра 
, 
– середина ребра 
. Найти угол между плоскостью основания и прямой 
(рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решение
1. Введем систему координат. Началом координат выберем точку , ось 
направим вдоль ребра 
, ось 
– в плоскости основания , перпендикулярно , ось 
– параллельно высоте пирамиды.
Рис. 2. Введенная система координат
Найдем координаты вершин пирамиды, центра вписанной и описанной окружности 
, а также точек и – середин ребер и . Для этого сделаем выносной рисунок плоскости основания пирамиды (рис. 3).
Рис. 3. Выносной рисунок основания
Тогда 
, 
, 
, 
.
3. 
(как радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника ).
4. Из треугольника 
, по теореме Пифагора, 
(рис. 4). Следовательно, координаты точки 
.
Рис. 4. Треугольник
5. – середина , так что координаты точки – это полусумма соответствующих координат точек и 
. То есть 
.
6. – середина , так что координаты точки – это полусумма соответствующих координат точек и . То есть 
.
7. Найдем координаты вектора 
{ 
}.
8. Очевидно, что ось аппликат перпендикулярна плоскости основания, так что вектор 
является вектором нормали к плоскости основания.
9. 
.
10. Если искомый угол равен α, то 
.
Ответ: 
.
Заключение
На этом уроке мы научились вычислять угол между прямой и плоскостью в координатах. Мы научились решать эту задачу в общем виде: то есть если нам известны координаты двух точек нашей прямой и координаты трех точек нашей плоскости, то мы можем, во-первых, найти направляющий вектор данной прямой (координаты этого вектора); во-вторых, найти координаты нормали к плоскости; в-третьих, вычислить косинус угла между ними через скалярное произведение; в-четвертых, сказать, что синус искомого угла равен модулю косинуса найденного угла; ну и, наконец, найти арксинус.
Домашнее задание
1) В правильной четырехугольной пирамиде 
, все ребра которой равны 
, найдите синус угла между прямой 
и плоскостью 
.
2) В прямоугольном параллелепипеде 
; 
; 
. Найти угол между прямыми 
и 
.
