Алгоритм: как найти угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Находить угол между прямой и плоскостью мы будем с помощью координатного метода. Но для начала вспомним, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией

Какие углы мы умеем считать? Мы можем посчитать угол между двумя векторами, используя скалярное произведение этих векторов. Поэтому будем считать, что прямая задана своим направляющим вектором (), а для плоскости мы знаем вектор, перпендикулярный ей () (рис. 2). То есть задачу нахождения угла между прямой и плоскостью можно свести к нахождению угла между векторами.

Рис. 2. Угол между векторами

Угол между прямой и плоскостью как угол между векторами

По определению искомый угол – это угол (рис. 3).

Рис. 3. Искомый угол

Мы можем найти угол – угол между прямой и нормальным вектором (рис. 4).

Рис. 4. Угол

Заметим, что прямые , и лежат в одной плоскости (рис. 5).

Рис. 5. Прямые в одной плоскости

Значит, угол – прямой, так как вектор перпендикулярен всей плоскости , а значит, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой (рис. 6).

Рис. 6. Угол – прямой

Пусть , тогда (рис. 7).

Рис. 7. Углы и

Но тогда по формуле приведения имеем: .

Замечание: никто не сказал, что угол между нашими векторами будет острым. То есть мы можем найти либо острый угол (), либо тупой () (рис. 8).

Рис. 8. Острый угол () и тупой ()

Если речь идет о тупом угле, то его косинус будет отрицательным, то есть полученный косинус надо взять по модулю, и тогда мы получим синус искомого угла. Итак, мы доказали утверждение: синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости: .

Можно записать, что .

Можно сформулировать это правило и «без модуля»: синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между этой прямой и прямой, содержащей нормаль к плоскости.

Алгоритм: как найти угол между прямой и плоскостью

1) Найти координаты направляющего вектора прямой (например, найти координаты двух точек данной прямой).

2) Найти координаты нормального вектора плоскости (перпендикулярного данной плоскости).

3) Найти косинус угла между векторами через скалярное произведение.

4) Модуль найденного косинуса равен синусу искомого угла.