Основные этапы построения сечений куба

1 2 3 4

Построение сечений

(сечение на модели куба,

Методы построения сечений многогранников)

Проектная работа по математике

Выполнила ученица 10 класса «Б»
Захлебина Екатерина Дмитриевна

Научный руководитель:
учитель математики
Фурсова Ольга Ивановна

Тамбов

2019

Оглавление

1. Введение. 2

2. Цели и задачи, актуальность. 4

3. Основные этапы построения сечений куба. 5

4. Основная теория. 15

4.1. Построение сечений многогранников на основании системы аксиом и следствий из них. 15

4.2. Метод следов. 24

4.3. Метод внутреннего проектирования. 32

4.4. Комбинированный метод. 34

5. Заключение. 37

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 38

Введение

Материал по геометрии в 10 классе требует от человека пространственного восприятия мира. Пространственное мышление играет важную роль в познании человеком окружающей действительности, в овладении им различными профессиями. Решение пространственных задач осложняется тем, что в отличии от задач на построение на плоскости невозможно соединение формально-логической схемы построений с их действительным выполнением при помощи чертежных инструментов, то есть чертежные операции в пространстве не возможны. Поэтому пространственные задачи переносятся на проекционный чертеж и решаются на нем.

Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрация фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе. Удобно, например, это проделать на изображении куба и правильного тетраэдра, сопровождая построения на изображении демонстрацией соответствующих отношений на модели. Все это будет способствовать укреплению связи изображения трёхмерного объекта и оригинала.

В своём проекте я решила создать макеты различных сечений куба, которые можно использовать на уроках, а так же глубже изучить методы построения сечений, подобрать задачи соответственно методу построения, разобрать их решение, и предложить ознакомить учащихся с данным материалом.

Цели и задачи, актуальность

Цель:
создание наглядных сечений на модели куба.

Задачи:

· изучить методы построения сечений многогранников;

· выполнить модели сечений на примере куба;

· подобрать необходимые задачи;

· провести урок для учащихся 10-х классов;

· подвести итоги.

Актуальность данного проекта заключается в том, что, несмотря на то, что тема «Построение сечений многогранников» изучается в школьной программе 10 класса, но у многих учеников возникают трудности при построении сечений многогранников из-за отсутствия наглядного представления. Однако необходимость выпускников школы в умении решать задачи на построение сечений многогранников очень большая. Это связано с тем, что на вступительных экзаменах в технические вузы все чаще встречаются задачи, в которых на каком-либо этапе решения необходимо построить сечение многогранника. Поэтому я решила глубже изучить методы построения сечений, а так же создать макеты различных сечений куба, которые были использованы мной и учителем на уроках, при прохождении материала. Данные модели можно использовать для развития интереса к предмету «геометрия».

Основные этапы построения сечений куба.

Мною были построены 4 модели сечений куба:

· сечением куба является треугольник,

· сечением куба является четырёхугольник,

· сечением куба является пятиугольник,

· сечением куба является шестиугольник.

Чтобы выполнить данные модели, мне необходимо было изучить теорию, произвести определённые расчёты при построении макета, т.е. решить задачи с разными условиями.

Задача 1. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершины А, В₁, D₁, если ребро куба равно 10см.

Решение: Т. к. точки А и В₁ лежат в одной плоскости (АА₁В₁), то проведём АВ₁. Точки В₁ и D₁ лежат в одной плоскости (А₁В₁D₁), проведём В₁D₁. Точки А и D₁ лежат в одной плоскости (АА₁D₁), проведём АD₁. Искомым сечением является треугольник АВ₁D₁. Так как все грани куба равные квадраты со стороной 10 см (по условию), то АВ₁D₁ – равносторонний треугольник, сторона которого равна длине диагонали куба, т.е. см.

Задача 2. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершины А, В₁, С₁, если ребро куба равно 10см.

Решение. Т. к. точки А и В₁ лежат в одной плоскости (АА₁В₁), то проведём АВ₁. Рёбра куба AD и В₁С₁ параллельны, т.о. AD и В₁С₁ лежат в плоскости сечения. Точки D и С₁ лежат в одной плоскости (DD₁C₁), проведём DС₁. Искомым сечением является прямоугольник АВ₁С₁D. Так как все грани куба равные квадраты со стороной 10 см (по условию), то АВ₁С₁D – прямоугольник, стороны которого равны 10см и см.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки В₁, Р, К, если ребро куба равно 8см. Где В₁ – вершина куба, Р АА₁ и А₁Р=6см, К СС₁ и С₁К=6см_.

Проведём В₁К, т.к. точки В₁ и K лежат в одной плоскости (ВВ₁С₁). Проведём В₁P, т.к. точки В₁и P лежат в одной плоскости (АА₁В₁). ,

. (по двум катетам), следовательно В₁Р=В₁К=10см (по теореме Пифагора). (по двум углам), следовательно . , т.е. CY= , KY= . Аналогично можно найти PX и AX, PX=KY= , AX=CY= . B₁X=B₁P+PX=10см + = . B₁Y=B₁X= .

Проведём XY, т.к. точки X и Y лежат в одной плоскости (АВС).

, .

Проведём KL, т.к. точки K и L лежат в одной плоскости (DCC₁). Проведём PM, т.к. точки P и M лежат в одной плоскости (ADD₁). Искомым сечением является пятиугольник B₁KLMP. Т.к. секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то , .

Т.к. , то (прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от треугольника подобный ему треугольник). Значит, . . Т.о. KL= , аналогично PM= . прямоугольный, используя теорему Пифагора, получаем, что CL= . Аналогично АМ= . DL=DM=8см - = . – прямоугольный, используя теорему Пифагора, получаем, что см.

Задача 4. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки М, Р, К, если ребро куба равно 10см. Где М – середина ребра A₁B₁, Р – середина ребра B₁C₁, К – середина ребра СD_.

Проведём МР, т.к. точки М и Р лежат в одной плоскости (А₁В₁С₁). Плоскости (АВС) и (А₁В₁С₁) параллельны, значит секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведём , где . Т.к. М и Р – середины рёбер куба A₁B₁ и В₁С₁, то B₁М= B₁Р=5см. – прямоугольный. Используя теорему Пифагора, получаем, что МР= см. Т.к. и К – середина CD, то FD=5см. Аналогично можно найти FK, FK= см

, . Т.к. К – середина CD, (как вертикальные), , то (по катету и прилежащему острому углу). Значит, CY=DF=5см. Аналогично можно найти AX, AX=5см.

Проведём МX, т.к. точки М и X лежат в одной плоскости (АА₁В₁).

. Проведём PY, т.к. точки P и Y лежат в одной плоскости (BB₁C₁). . , (по катету и противолежащему острому углу). Следовательно, MN=NX= см, PL=LY= см.

Проведём KL, т.к. точки K и L лежат в одной плоскости (CC₁D₁). Проведём NF, т.к. точки N и F лежат в одной плоскости (АА₁D₁). Аналогично можно найти KL и NF, KL=NF= см. Искомым сечением является правильный шестиугольник MPLKFN, сторона которого равна 5 см.