Метод внутреннего проектирования

     Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача 1. Постройте сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью α, заданной точками M∈BB₁, P∈DD₁, Q∈EE₁.

Решение. Плоскость нижнего основания призмы обозначим ɤ.

Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α с ребрами призмы. Построим точку пересечения секущей плоскости α с ребром AA₁.

Плоскости (A₁AD) и (BEE₁) пересекает плоскость по прямым соответственно AD и BE, которые пересекают в некоторой точке K, т.е. K = AD ⋂ BE. Эти плоскости проходят через параллельные ребра AA₁ и BB₁ призмы и имеют общую точку K. Поэтому прямая их пересечения проходит через точку K и параллельна ребру BB₁. Точку пересечения этой прямой с прямой QM обозначим K₁ = KK₁ ⋂ QM, KK₁∥ BB₁.

Прямая PK₁ лежит в секущей плоскости α и пересекает ребро AA₁ в некоторой точке R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра AA₁, т.е. R = PK₁ ⋂ AA₁ = α ⋂ AA₁, т. е. точка R является вершиной искомого сечения.

Аналогично строим точку N пересечения плоскости α и ребра CC₁.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

 1. K = AD ⋂ BE;

2. K₁ = KK₁ ⋂ MQ, KK₁ ∥ BB;

3. R = PK₁ ⋂ AA₁;

4. H = EC ⋂ AD;

5. H₁ = HH₁ ⋂ PR, HH₁ ∥ CC₁;

6. N = QH₁ ⋂ CC₁;

7. Пятиугольник MNPQR – искомое сечение.

Задача 2. Дано изображение пятиугольной пирамиды SA₁B₁C₁D₁E_1.На ее боковых ребрах A₁S, B₁S, C₁S даны точки А, В, С. Построить сечение пирамиды плоскостью ABC.

Решение.

Строим диагонали А₁С₁ и B₁D₁ основания пира­миды. Получаем точку О₁ их пересечения. Строим прямую SO₁. Она пересекает отрезок АС в точке О, так как АС и SO₁ лежат в одной плоскости (SA₁C₁₎. Кроме того, точка О принадлежит плоскостям (ABC) и (SB₁D₁). Поэтому прямая ВО, принадлежащая тем же плоскостям, пересекает ребро SD₁ в точке D, лежащей в плоскости (ABC). Аналогично строим точку Е пересечения плос­кости (ABC) с ребром E₁S. Пятиугольник ABCDE — искомое се­чение.