Построение сечений многогранников на основании системы аксиом и следствий из них

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью αдостаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника.Сечения многогранников используются при решении многих задач стереометрии. При этом стоит отметить, что, говоря о построениях в пространстве, обычно имеют в виду не столько реальные построения, сколько утверждении о существовании объектов. Например, фраза "проведем плоскость через течки А, В, С" означает ''фиксируем, что существует плоскость, проходящая через точки А, В, С". Аналогичный смысл имеет "проведение" прямых в пространстве. При таком подходе построение фигуры в пространстве (сечения, в частности) фактически означает доказательство ее существования, основанное на аксиомах.

Построения сечений многогранников также можно производить, основываясь на следующих следствиях аксиом стереометрии:

1. Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является прямой пересечения данных плоскостей.

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.

3. Для построения сечений, перпендикулярных прямой или плоскости, используются теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей.

Задачи на сечения многогранников.

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро АА₁ и точку М ребра CD.

Решение.

Через точку М и прямую АА₁ можно провести плоскость (обозначим ее а) и притом только одну. Найдем, как эта плоскость пересекается с гранями и ребрами параллелепипеда.

1) Так как точки А и М являются общими для плоскостей а и ABCD, то прямая AM является прямой пересечения этих плоскостей. Соединим точки А и М отрезком.

2) Так как плоскости АВВ₁А₁ и DCC₁D₁ параллельны, то секущая плоскость и пересекает их по параллельным прямым. Через точку М параллельно ребру СС₁ проведем прямую ММ₁ (М₁ — точка пересечения с ребром C₁D₁).

3) Так как точки А₁ и М₁ являются общими для плоскостей а и A₁B₁C₁D₁, то прямая А₁М₁ является прямой пересечении этих плоскостей. Соединим точки А₁ и М₁. Искомое сечение четырехугольник AMM₁А₁.

Задача 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, E — середина СС₁. Определите число сторон сечения плоскостью, которая проходит через точки A, B₁, E.

Решение.

Обозначим через плоскость, содержащую искомое сечение. Очевидно, что пересекается с гранями AA₁B₁B и ВВ₁С₁С по прямым AB₁ и В₁Е соответственно. Грани AA₁B₁B и DD₁С₁С куба параллельны, поэтому прямые, по которым плоскость пересекается с ними, также будут параллельны. Одна из этих прямых — АВ₁. Построить параллельную ей прямую в плоскости DD₁С₁С можно следующим образом: через точку Е проведем прямую, параллельную диагонали С₁D. Точка пересечения К этой прямой с ребром DC делит его пополам (теорема Фалеса).

Итак, для построения линии пересечения плоскости и грани DD₁С₁С делим отрезок DC пополам и соединяем точки К и Е.

Так как точки А и К являются общими для плоскостей а и ABCD, то прямая АК является прямой пересечения этих плоскостей. Соединим точки А и К. Искомое сечение — четырехугольник АВ₁ЕК.

Задача 3. ABCDA₁B₁C₁D₁— куб. К — середина AD. M — середина CD. В каком отношении, считая от точки А, делит ребро АA₁ плоскость, проходящая через точки В₁, К и М?

Решение.

Обозначим через плоскость, проходящую через точки К, М и В₁. Построим сечение куба этой плоскости. Точки К и М являются общими для плоскости и плоскости ABCD, поэтому прямая КМ является прямой пересечения этих плоскостей. Продолжим прямую КМ до пересечения с ребрами АВ и ВС. Пусть , .

Точки В₁ и N являются общими для плоскостей и ВВ₁С₁С, поэтому прямая B₁N — это линия пересечения этих плоскостей. Обозначим S —точку пересечения прямых B₁N и С₁С.

Аналогично строится точка Q (пересечение B₁F и AA₁). Точки S и М являются общими для плоскостей и DD₁С₁С, поэтому прямая SM — это прямая пересечения этих плоскостей. Точки Q и K являются общими для плоскостей и DD₁А₁А, поэтому прямая QK — это прямая пересечения этих плоскостей. Искомое сечение — пятиугольник B₁SMKQ.

Найдём отношение AQ: QA₁. Из построения ясно, что ΔFKA равен треугольнику КDМ, следовательно, AF = , где a — ребро куба. Из подобия треугольников AQF и A₁QB₁ находим AQ: QA₁ = 1: 2.

Ответ: AQ: QA₁ = 1:2

Задача 4. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между АВ₁ и ВС₁.

Решение.

Через прямую ВС₁ проведем плоскость, параллельную прямой АВ₁, точнее говоря, построим сечение куба этой плоскостью. Обозначим — искомую плоскость. Диагональ C₁D грани DD₁С₁С параллельна диагонали В₁А, противоположной грани куба, а так как точка С₁ принадлежит , то и вся прямая C₁D принадлежит , следовательно, она является линией пересечения плоскости с гранью DD₁С₁С. Так как точки В и D являются общими для плоскостей и ABCD, то эти плоскости пересекаются по прямой BD. Искомое сечение — это треугольник BC₁D.

Угол между скрещивающимися прямыми АВ₁ и ВС₁ равен углу DC₁B, так как прямые AB₁ и DC₁ параллельны. Треугольник BC₁D – равносторонний, поэтому искомый угол равен 60°.

Ответ: 60°.

Задача 5. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ — квадрат со стороной см, длина ребра AA₁ = 2 см. Найдите площадь сечения, проведенного через точки С, Р и M, где Р — середина AD и М — середина ВВ₁.

Решение.

Построим искомое сечение параллелепипеда. Пусть — плоскость, в которой лежит это сечение. Очевидным образом прямые МС и СР являются прямыми, по которым плоскость а пересекается с гранями ВВ₁С₁С и АBCD соответственно. Продолжим прямые PC и АВ и обозначим Q — точку их пересечения.

Точки Q и М являются общими для плоскости и плоскости АВВ₁А₁, поэтому прямая QM является прямой, по которой эти плоскости пересекаются. Обозначим N — точку пересечения прямых QM и AA₁. Точки N и Р являются общими для плоскостей а и AA₁D₁D, поэтому их пересечением является прямая NP.

Искомое сечение — четырехугольник MNPC. Вычислим стороны этого четырехугольника.

РС = ,

PN = ,

MN = .

Таким образом, сечение — равнобокая трапеция.

Ее высота равна PR = .

Искомая площадь сечения равна .

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н — внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ.

Решение.

Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и (РВС). Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость (РВС) по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения.

Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР.

Т.к. прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости αи (АРС) имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость (АРС) пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R.

Плоскость α пересекает грани (АСР) и (АВС) по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR.

Метод следов

Существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод.

Метод следов.

Определение. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причём в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают рёбра многогранника.

Способ следов состоит в следующем. Вначале строят на основной плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают большей частью плоскость основания геометрического тела). Затем, используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные (и данные) точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.

Рассмотрим решение задачи на построение сечения призмы плоскостью, используя ее след.

Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА₁В₁С₁D₁Е₁ плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD₁.

Решение.

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD₁C₁ лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD₁) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD₁) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС₁достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ₁, Q = α ∩ АА₁ и R = α ∩ ЕЕ₁достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ.

Отсюда построение.

1. X = l ∩ СD;

2. N = МХ ∩ СС₁;

3. У = l ∩ ВС;

4. Р = NY ∩ ВВ₁;

5. Z = l ∩ АВ;

6. Q= РZ ∩ АА₁;

7. T= l ∩ АЕ;

8. R= QT ∩ ЕЕ₁.

9. Пятиугольник MNPQR — искомое сечение.

Задача 2. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение.

1. Т₁= l ∩ АЕ; 2. Q = Т₁К ∩ РА;

3. Т₂ = l ∩ АВ; 4. R = Т₂Q ∩ РВ;

5. Т₃ = l ∩ ВС; 6. М = T₃R ∩ РС;

7. Т₄ = l ∩ СD; 8. N = Т₄М ∩ РD;

9. KN;

10. KQRMN – искомое сечение.

Задача 3. АВСА₁В₁С₁ – прямая треугольная призма. Постройте сечение призмы плоскостью (MPN), где M (ACC₁), N (BCC₁), P (ABB₁). Причём МР и MN не параллельны плоскости основания.

Решение.

6. XY, XY (ABC). XY – след секущей плоскости на плоскость (АВС);

10.

11. KFO – искомое сечение.

Задача 4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 8 см точки Р, М, Т середины рёбер А₁В₁, СС₁ и AD соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М, Т и найдите площадь этого сечения.

Решение.