Примеры по выполнению практической работы

Пример 1: Найти области сходимости степенных рядов:

а)

б)

в)

Решение. а) Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Согласно признаку Даламбера полученный знакоположительный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях х, для которых . Здесь ,

.Отсюда

Определим, при каких значениях х этот предел l будет меньше единицы. Для этого решим неравенство , или | x +1| < 2, откуда -3 < x < 1.Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в промежутке(-3, 1) - это и есть промежуток сходимости данного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка сходимости. При

х = - 3 получаем числовой ряд

Это – гармонический ряд, который, как известно, расходится.

При х= 1 получаем числовой знакочередующийся ряд

который по признаку Лейбница сходится (условно).

Итак, область сходимости данного ряда – полуоткрытый промежуток

б) Здесь Отсюда

т.е.

Таким образом, согласно признаку Даламбера ряд сходится только в точке

х = 0.

в) Имеем Отсюда

Следовательно, при любом х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости рассматриваемого ряда есть вся числовая ось.

Пример 2. разложите в ряд Тейлора по степеням х – 2 функцию

Решение. Вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при x=2:

……………………………….

………………………………….

Подставляя найденные значения и общее выражение ряда Тейлора для производной функции, получим

Это и есть разложение ряд Тейлора по степеням х – 2 для функции Полученный ряд сходится к порождающей его функции при любом значении х.

Заметим, что искомое разложение можно получить также следующим образом. В разложение (3) заменим х на 5х; тем самым получим ряд Маклорена для функции . (*)

Представив теперь функцию в виде и подставляя в соотношение

(*) х - 2 вместо х, приходим к разложению

Пример 3. разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Заменяя в разложении (8) х на – 2х, получим

или .

Разложение (8) справедливо в промежутке а искомое получается в результате замены х на – 2 х. Следовательно, для нахождения промежутка сходимости полученного ряда нужно решить неравенство

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. По известной тригонометрической формуле имеем

Разложить в ряд Маклорена функцию cos2x, заменяя в разложении (5) х на 2х:

или

(*)

Разложение (5) справедливо при любом х, поэтому ряд Маклорена для cos 2x сходится к порождающей его функции также на всей числовой оси.

Для того чтобы получить разложение в ряд Маклорена функции cos2x,

умножим все члены ряда (*) на ½:

Тогда

Это и есть разложение в ряд Маклорена функции Очевидно, что оно справедливо при любом х.

Пример 5. Приложение рядов к приближенным вычислениям.

Вычислить , ограничиваясь первыми двумя членами ряда Маклорена для sin x, и оценить получающуюся при этом погрешность.

Решение. Так как разложение (4) справедливо при любом х, то, в частности, при имеем

Полученный ряд - знакочередующийся. Ограничиваясь двумя членами этого ряда, т. е. считая равным их сумме, мы тем самым допускаем ошибку, не превосходящую первого отбрасываемого члена .Так как <0,0001, то с точностью до 0,0001 получаем

Пример 6. Вычислить с точностью до 0,01.

Решение. Пользуясь разложением (3), при х=2 получим

Остается решить вопрос о том, сколько членов данного ряда надо взять, чтобы получить значение с требуемой точностью. Пусть искомое число членов равно . Это означает, что ошибка , которую мы допускаем, заменяя сумму ряда его частичной суммой, равна сумме членов ряда, начиная с -го: