Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной. (1)

Разбор тестовых задач по алгебре

Тест №1

Квадратичная функция: y=ax²+bx+c

Сделали почти всё, кроме примеров 3 и 5

Координаты вершины параболы находятся по формуле на стр. 243:

x₀=-b/2a, y₀=y(x₀)=c-b²/4a             (1)

3) y=-x²+x+1

a=-1, b=1, c=1 => x₀=-b/2a=-1/(-2)=1/2=0,5, y₀=y(x₀)=-(1/2)²+1/2+1=-3/4=-0,75

Ответ: (0,5; -0,75)

5) График пересекается с осью абсцисс, если y=0 (2)

-x²+4x+5=0 => x₁=5, x₂=-1; ответ:  (5; 0), (-1; 0)

4) График пересекается с осью ординат, если x=0 (3)

y=y(0)=-0²+8 0+6=6;

Ответ: (0; 6)

Тест №2

 1) см. (1): x₀=-b/2a=-8/(-10)=0,8; y₀=y(0,8)=-5(0,8)²+8(0,8)+17= 20,2

Ответ: (0,8; 20,2)

2) x₀=-b/2a=0, y₀=y(0)=-6,82; ответ: (0; -6,82)

6) y=(x-2)(x+4)=x²+2x-8; x₀=-2/2=-1, y₀=y(-1)=-9; ответ:  (-1; -9)

4) см. (2), (3): решаем уравнение y=x²-16=0,

x₁=4, x₂=-4, значит координаты пересечения с осью абсцисс: (4; 0),

 (-4; 0);

 чтобы найти координаты пересечения с осью ординат, подставляем x=0 в выражение для y: y(0)=-16; значит координаты пересечения:  (0; -16)

Ответ: (4; 0), (-4; 0), (0; -16)

5) 7x²+5x=0 x₁=0, x₂=-5/7; y(0)=0;

одна из точек пересечения с осью абсцисс совпадает с точкой пересечения с осью ординат, а именно (0, 0);

Ответ: (0; 0), (-5/7; 0)

7 ) Если в уравнении функции y=ax²+bx+c a>0, то функция имеет наименьшее значение и принимает его, когда парабола достигает вершины, при x=-b/2a. Это значение равно: y= y(-b/2a)=c-b²/4a.

Если же a <0, то при x=-b/2a функция принимает наибольшее значение: y=y(-b/2a).

Иными словами, и наибольшее и наименьшее значения, если они существуют, совпадают с ординатой вершины параболы: y=y(-b/2a)

(Стр. 250, параграф 39)

(4)

Когда я давал пример, то думал, что это будет вам очевидно из вида параболы.

y=x²+4x+7; a=1>0 => существует наименьшее значение функции

-b/2a=-4/2=-2, y(-2)=(-2)²+4(-2)+7=3

Ответ: y=3

Тест №3

3) –b/2a=-4/(-2)=2; y(-2)=3; ответ: (2; 3)

4) a=1>0,          значит функция принимает наименьшее значение при x=-b/2a=-(-3)/2=3/2

5) a=-5<0,    значит функция принимает наибольшее значение при x=-b/2a=-13/(-10)=13/10

Тест №4

Ось симметрии графика функции проходит через ту точку оси абсцисс, в которой парабола достигает вершины: x=-b/2a           

(5)

1) x=-b/2a=8/2=4

2) x=-b/2a=3/10

Из вида графика функции, то есть параболы, очевидно, что при a>0, значения функции отрицательны, когда x₁<x<x₂. Здесь x₁, x₂ корни уравнения y=ax²+bx+c=0. 

                                                                  (6)

4) y=x²-8x+15=0 x₁=3, x₂=5 => 3<x<5

5) a>0 => функция принимает наименьшее значение

            при x=-b/2a=-16/2=-8

Тест №5

Из вида графика очевидно, что при a>0,  функция y=ax²+bx+c   убывает, когда x<=b/2a (то есть слева от вершины параболы) и  возрастает, когда x>-b/2a (справа от вершины параболы).

 Если a<0, то функция возрастает, когда x<-b/2a  и убывает, когда x>-b/2a

(7)

1) a=1>0, –b/2a=4/2=2 =>функция возрастает при x>2.

Промежутки, удовлетворяющие этому условию: (2; 3), (3; 4)

2) a=-1<0, -b/2a=(-6)/(-2)=3 =>функция возрастает при x<3

Ответ: (-10; 0), (0; 1), (1; 3)

Чтобы найти координаты пересечения графиков функций, надо приравнять функции и решить полученное уравнение.

(8)

4) x²+5x=x-3; x₁=-1, x₂=-3, y(-1)=-4, y(-3)=-6

Ответ: (-1; -4), (-3; -6)

Тест №6

График функции y=a(x+d)²+c получается из графика y=ax²+c сдвигом вправо, если d<0 и влево, если d>0. Прибавление числа c к функции сдвигает график вверх, если c>0 и вниз, если c<0.

Сделайте к концу следующей недели тест самостоятельно и доделайте неразобранные задачи из предыдущих тестов.

 

Геометрия

Тест №1

Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной. (1)

Хуже всего сделали 1, 6, 8, 9

1)Прямоугольные треугольники OBC и OBA равны по общей стороне OB и катетам OA и OC, равным радиусу. Значит, OB – биссектриса углов ABC и AOC. Угол OBA=(90-120/2) =30  => OB=2(OA)=32