И их основные характеристики

Тема. Пирамида. Виды пирамид.

Элементы и свойства пирамиды

 

 

Вопросы к теме:

Понятие пирамиды, ее элементы и основные свойства.

Виды пирамид и их основные характеристики.

Домашнее задание.

Вопрос 1. Понятие пирамиды.

Элементы и основные свойства пирамиды

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Рис.1

 

Можно дать еще и следующие определения:

Многогранник называется n- угольнойпирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основанием) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

 

Элементы (составные части) пирамиды (Рис.2):

Вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

 

Боковая грань – это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

 

Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

 

Боковые ребра – это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

 

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Рис.2

Высота – отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). (Рис.3)

Рис.3

 

Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания. (Рис.4)

 

Рис.4

Некоторые свойства пирамиды

 

Свойство 1

Если все боковые ребра равны, то:

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (Рис.5)

Рис.5

 

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (Рис.6)

Рис.6

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Свойство 2

Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр. (Рис.7)

Рис.7

 

Верно и обратное.

Если в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Вопрос 2. Виды пирамид

и их основные характеристики

По числу углов основания различают пирамиды: треугольные, четырёхугольные и т.д.

 

Треугольная пирамида – это четырехгранник – тетраэдр.

Четырехугольная пирамида – пятигранник.

и так далее.

Треугольная пирамида (четырехгранник) – это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

Тетраэдр – треугольная пирамида, в котором каждая из граней – правильный треугольник, поэтому в тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. (Рис.8)

Рис.8

Правильная пирамида (Рис.9)

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

 

Рис.9

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной пирамидой!