Необходимое и достаточное условие экстремума

Для того, чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(х), необходимо, чтобы х₀ была критической точкой функции;

достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х₀ производная меняла знак.

Выписать в тетрадь необходимый и достаточный признак экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума: алгоритм раздается детям

1. Найти производную функции.
2. Решить уравнение f ´(х)=0, и найти тем самым стационарные точки.
3. Методом интервалов установить промежутки знакопостоянства производной.
4. Если при переходе через точку х₀:

- производная не меняет знак, то х₀ – точка перегиба;

- производная меняет знак с «+» на «-», то х₀ точка максимума;

- производная меняет знак с «-» на «+», то х₀ точка минимума.

 

3. Отработка определений.  

Вопрос  

1. Найти по графику функции точки, с определениями которых вы только, что познакомились.

Вопросы  

2. Укажите:

 1) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс;

 2) чему равна производная в этих точках;

 3) как называются такие точки;

 4) чему равна производная в точке х₄;

 5) как называется такая точка;

 6) какие точки можно назвать точками экстремума.

Закрепление новой темы.

1. Найдём точки экстремума функций.  

 

а) у = 2х – 3

1) Найдём производную функции  = 2

2) Найдём стационарные точки: 2 = 0 решений нет, значит, стационарных точек нет.

3) Данная функция линейная и возрастает на всей числовой оси, поэтому не имеет точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

 

б) у = х² - 2х – 1 

1)  = 2х - 2

2) 2х - 2 = 0

2х = 2

х = 1,5

  -                      +

у                 1,5                            х              

Ответ: функция имеет минимум в точке х = 1,5