Изучение нового материала

Тема урока: Критические точки, точки максимума и минимума.

 

Цель: ввести понятие критических точек функции, точек максимума и минимума функции; рассмотреть необходимое и достаточное условие существования экстремума, признаки максимума и минимума функции; алгоритм исследования функции на экстремум;  

В результате изучения темы учащиеся должны

• Знать определения точек максимума и минимума;
• Знать необходимый признак экстремума (теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума;
• Знать определения стационарных и критических точек функции;
• Уметь находить критические точки функции по графику и определять их вид;
• Уметь находить точки экстремума функции аналитическим путем.

Актуализация знаний.

Для решения поставленных задач, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее. Фронтальный опрос.

1. Найти область определения и производную функции:  

1) у = 3х⁴ – 2х + 5;   2) у = е^{-2х + 1};                      3) у = х²   ;        

4) у = ;                      5) у = ;              6) у = .

2. Найти значения х, при которых значение f(x) равно 0, если  

1) f(x) =5х² + 3х;     2) f(x) = х е^х;      3) f(x) = .

Изучение нового материала.

Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид.

а) Если рассмотреть значение функции в точке х₀ на этомграфике, то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что х₀   - точка максимума (max).

Точка х₀ из области определения функции называется точкой максимума, если д л ялюбого из окрестности точки   х₀ выполняется неравенство f(x) < f(x₀)  

б) Попробуйте сформулировать определение точки минимума.

 Если рассмотреть значение функции в точке х₀, то оно будет наименьшим (минимальным), чем в любой другой из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что х₀ - точка минимума (min).

Точка х₀ из области определения функции называется точкой минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство > .

Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум (с латинского - крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)

Теорема Ферма: Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ - точка экстремума функции f(х), то f ´(х)=0.

Теорема имеет наглядный геометрический смысл: в точках экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, и поэтому её угловой коэффициент f ´(х)=0. (

Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если -точка экстремума функции и в этой точке функция дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю.

Точки в которых производная равна нулю называют стационарными.

Определение критических точек

 Мы можем ответить на вопрос: «Среди каких точек мы должны искать точки экстремума?» Точками экстремума могут служить лишь критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. То есть функция может иметь экстремум и в точке, в которой она не имеет производной.

Необходимое условие не является достаточным, т.е. из того факта, что производная равна нулю в некоторой точке, не следует, что функция в этой точке имеет экстремум (например, функция ).

Какие условия необходимо добавить, чтобы утверждать, что некоторая критическая точка является точкой максимума или минимума? Видно, что точка максимума служит границей перехода от возрастания к убыванию функции, а точка минимума - от убывания к возрастанию

 

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет.