Атом водорода. Линейчатые спектры

План:

1. Теория Бора для атома водорода.

2. Спектральные линии и энергетические уровни атома водорода.

 

Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX в. были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 г. Й. Ридберг[5] получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:

 

где  – постоянная Ридберга ()

 

Для серии Бальмера . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) .

Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде:

где  – масса электрона,  – его скорость,  – радиус стационарной круговой орбиты.

 

Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите некоторого радиуса  в кулоновском поле ядра, как следует из второго закона Ньютона, определяется соотношением:

где  – элементарный заряд,  – электрическая постоянная.

 

Скорость электрона  и радиус стационарной орбиты  связаны правилом квантования Бора. Радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением:

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение . Радиус первой орбиты, который называется боровским радиусом, равен:

Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n².

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом , равна:

Следует что , так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в формулу выражения для  и :

где целое число  называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.

 

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией  на другую стационарную орбиту с энергией  атом испускает квант света, частота  которого равна :

Формула в точности совпадает с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если положить постоянную  равной:

Рис. 1.3.1. Стационарные орбиты атома водорода..

На рис. 1.3.2. изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и переходы, соответствующие различным спектральным сериям.

Рис. 1.3.2. Диаграмма энергетических уровней атома водорода.

Боровская теория атома подходит только для атома водорода. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах частиц. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 1.3.3). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами.

В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн , т.е:

Соотношение длину волны де Бройля , где  – импульс электрона, получим:

Боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов.

Рис. 1.3.3. Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите.

Атомы – квантовые системы, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны.

Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в 1913 г., в опыте Д. Франка и Г. Герца, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, т.е. в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую энергию. Это означает, то атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние: .

Согласно боровской концепции, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна испускать кванты с частотой:

Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути.

Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике.

Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т.д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 1.3.2). При больших квантовых числах  дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.

Физический смысл имеет только вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, описываемая квадратом модуля волновой функции . Волновая функция  является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Оказалось, что состояние электрона в атоме характеризуется целым набором квантовых чисел. Главное квантовое число  определяет квантование энергии атома. Для квантования момента импульса вводится так называемое орбитальное квантовое число . Проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление (например, направление вектора  магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений. Для квантования проекции момента импульса вводится магнитное квантовое число m. Квантовые числа  связаны определенными правилами квантования. Например, орбитальное квантовое число  может принимать целочисленные значения от 0 до (). Магнитное квантовое число  может принимать любые целочисленные значения в интервале . Таким образом, каждому значению главного квантового числа , определяющему энергетическое состояние атома, соответствует целый ряд комбинаций квантовых чисел  и . Каждой такой комбинации соответствует определенное распределение вероятности  обнаружения электрона в различных точках пространства («электронное облако»).

Состояния, в которых орбитальное квантовое число , описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (). При значениях  сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния с  называются -состояниями, с -состояниями и т.д.

На рис. 1.3.4 изображены кривые распределения вероятности  обнаружения электрона в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях  и .

Рис. 1.3.4. Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме водорода.

Как видно из рис. 1.3.4, электрон в состоянии  (основное состояние атома водорода) может быть обнаружен на различных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на расстоянии, равном радиусу  первой боровской орбиты. Вероятность обнаружения электрона в состоянии  максимальна на расстоянии  от ядра. В обоих случаях атом водорода можно представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится ядро.

 

Лазеры

План:

1. Оптические квантовый генератор.

2. Устройство квантовых генераторов.

Лазеры или оптические квантовые генераторы – современные источники когерентного излучения, обладающие целым рядом уникальных свойств.

К настоящему времени создано большое количество лазеров с различными характеристиками – газовых, твердотельных, полупроводниковых, излучающих свет в различных оптических диапазонах. Лазеры могут работать в импульсном и непрерывном режимах. Мощность излучения лазеров может изменяться в пределах от долей милливатта до  (в импульсном режиме). Лазеры находят широкое применение в военной технике, в технологии обработки материалов, в медицине, оптических системах навигации, связи и локации, в прецизионных интерференционных экспериментах, в химии, просто в быту и т.д.

Одним из важнейших свойств лазерного излучения является чрезвычайно высокая степень его монохроматичности, недостижимая в излучении нелазерных источников. Это и все другие уникальные свойства лазерного излучения возникают в результате согласованного, кооперативного испускания световых квантов многими атомами рабочего вещества.

Атом может находиться в различных энергетических состояниях с энергиями ,  и т.д. В теории Бора эти состояния называются стабильными. На самом деле стабильным состоянием, в котором атом в отсутствие внешних возмущений может находиться бесконечно долго, является только состояние с наименьшей энергией. Это состояние называют основным. Все другие состояния нестабильны. Возбужденный атом может пребывать в этих состояниях лишь очень короткое время, порядка  с, после этого он самопроизвольно переходит в одно из низших состояний, испуская квант света, частоту которого можно определить из второго постулата Бора. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называют спонтанным. На некоторых энергетических уровнях атом может пребывать значительно большее время, порядка  с. Такие уровни называются метастабильными.

Переход атома в более высокое энергетическое состояние может происходить при резонансном поглощении фотона, энергия которого равна разности энергий атома в конечном и начальном состояниях.

Переходы между энергетическими уровнями атома не обязательно связаны с поглощением или испусканием фотонов. Атом может приобрести или отдать часть своей энергии и перейти в другое квантовое состояние в результате взаимодействия с другими атомами или столкновений с электронами. Такие переходы называются безизлучательными.

В 1916 г. А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона в атоме с верхнего энергетического уровня на нижний может происходить под влиянием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна собственной частоте перехода. Возникающее при этом излучение называют вынужденным или индуцированным.

Индуцированное излучение является физической основой работы лазеров.

На рис. 1.4.1 схематически представлены возможные механизмы переходов между двумя энергетическими состояниями атома с поглощением или испусканием кванта света.

а)	б)	в)
Рис. 1.4.1. Условное изображение процессов (a) поглощения, (б) спонтанного испускания и (в) индуцированного испускания кванта.

Рассмотрим слой прозрачного вещества, атомы которого могут находиться в состояниях с энергиями  и . Пусть в этом слое распространяется излучение резонансной частоты перехода . Согласно распределению Больцмана, при термодинамическом равновесии большее количество атомов вещества будет находиться в нижнем энергетическом состоянии. Некоторая часть атомов будет находиться и в верхнем энергетическом состоянии, получая необходимую энергию при столкновениях с другими атомами. Обозначим населенности нижнего и верхнего уровней соответственно через  и . При распространении резонансного излучения в такой среде будут происходить все три процесса, изображенные на рис. 1.4.1. Эйнштейн показал, что процесс (a) поглощения фотона невозбужденным атомом и процесс (в) индуцированного испускания кванта возбужденным атомом имеют одинаковые вероятности. Так как  поглощение фотонов будет происходить чаще, чем индуцированное испускание. В результате прошедшее через слой вещества излучение будет ослабляться. С появление темных фраунгоферовских линий в спектре солнечного излучения. Излучение, возникающее в результате спонтанных переходов, некогерентно, распространяется во всевозможных направлениях и не дает вклада в проходящую волну.

Чтобы проходящая через слой вещества волна усиливалась, нужно искусственно создать условия, при которых , т.е. создать инверсную населенность уровней. Такая среда является термодинамически неравновесной. Идея использования неравновесных сред для получения оптического усиления впервые была высказана В. А. Фабрикантом[6] в 1940 г. В 1954 г. Н. Г. Басов[7] и А. М. Прохоров[8] и независимо от них Ч. Таунс[9] использовали явление индуцированного испускания для создания микроволнового генератора радиоволн с длиной волны .

Среда, в которой создана инверсная населенность уровней, называется активной. Она может служить резонансным усилителем светового сигнала. Чтобы возникала генерация света, необходимо использовать обратную связь. Для этого активную среду нужно расположить между двумя высококачественными зеркалами, отражающими свет строго назад так, чтобы он многократно прошел через активную среду, вызывая лавинообразный процесс индуцированной эмиссии когерентных фотонов. При этом в среде должна поддерживаться инверсная населенность уровней, которая называется накачкой.

Начало лавинообразному процессу в такой системе при определенных условиях может положить случайный спонтанный акт, при котором возникает излучение, направленное вдоль оси системы. Через некоторое время в такой системе возникает стационарный режим генерации. Это и есть лазер. Лазерное излучение выводится наружу через одно (или оба) из зеркал, обладающее частичной прозрачностью. На рис. 1.4.2 схематически представлено развитие лавинообразного процесса в лазере.

Рис. 1.4.2. Развитие лавинообразного процесса генерации в лазере.

Существуют различные способы получения среды с инверсной населенностью уровней. В рубиновом лазере используется оптическая накачка, атомы возбуждаются за счет поглощения света. Но для этого недостаточно только двух уровней. Каким бы мощным не был свет лампы – накачки, число возбужденных атомов не будет больше числа невозбужденных. В рубиновом лазере накачка производится через выше расположенный третий уровень (рис. 1.4.3).

После вспышки мощной лампы, расположенной рядом с рубиновым стержнем, многие атомы хрома, входящего в виде примеси в кристалл рубина (около 0,05%), переходят в состояние с энергией E₃, а через промежуток  они переходят в состояние с энергией . Перенаселенность возбужденного уровня E₂ по сравнению с невозбужденным уровнем E₁ возникает из-за относительно большого времени жизни уровня .

Лазер на рубине работает в импульсном режиме на длине волны 694 мм (темно-вишневый свет), мощность излучения может достигать  в импульсе. Исторически это был первый действующий лазер, построенный американским физиком Т. Майманом[10] в 1960 г.

 

Рис. 1.4.3. Трехуровневая схема оптической накачки. Указаны «времена жизни» уровней  и . Уровень  – метастабильный. Переход между уровнями  и  безызлучательный. Лазерный переход осуществляется между уровнями  и . В кристалле рубина уровни ,  и принадлежат примесным атомам хрома.

Одним из самых распространенных в настоящее время является газовый лазер на смеси гелия и неона. Общее давление в смеси составляет порядка  при соотношении компонент  и  примерно 10:1. Активным газом, на котором в непрерывном режиме возникает генерация на длине волны  (ярко-красный свет), является неон. Гелий – буферный газ, он участвует в механизме создания инверсной населенности одного из верхних уровней неона. Излучение  лазера обладает исключительной, непревзойденной монохроматичностью. Расчеты показывают, что спектральная ширина линии генерации  лазера составляет примерно . Это фантастически малая величина. Время когерентности такого излучения оказывается порядка , а длина когерентности , т.е. больше диаметра земной орбиты!

На практике многие технические причины мешают реализовать столь узкую спектральную линию  лазера. Путем тщательной стабилизации всех параметров лазерной установки удается достичь относительной ширины  порядка , что примерно на 3 – 4 порядка хуже теоретического предела. Но и реально достигнутая монохроматичность излучения  лазера делает этот прибор совершенно незаменимым при решении многих научных и технических задач. Первый гелий-неоновый лазер был создан в 1961 г. На рис. 1.4.4 представлена упрощенная схема уровней гелия и неона и механизм создания инверсной населенности лазерного перехода.

Рис. 1.4.4. Механизм накачки  лазера. Прямыми стрелками изображены спонтанные переходы в атомах неона.

Накачка лазерного перехода  в неоне осуществляется следующим образом. В высоковольтном электрическом разряде вследствие соударений с электронами значительная часть атомов гелия переходит в верхнее метастабильное состояния . Возбужденные атомы гелия неупруго сталкиваются с атомами неона, находящимися в основном состоянии, и передают им свою энергию. Уровень  неона расположен на 0,05 эВ выше метастабильного уровня  гелия. Недостаток энергии компенсируется за счет кинетической энергии соударяющихся атомов. На уровне  неона возникает инверсная населенность по отношению к уровню , который сильно обедняется за счет спонтанных переходов на ниже расположенные уровни. При достаточно высоком уровне накачки в смеси гелия и неона начинается лавинообразный процесс размножения идентичных когерентных фотонов. Если кювета со смесью газов помещена между высокоотражающими зеркалами, то возникает лазерная генерация. На рис. 1.4.5 изображена схема гелий-неонового лазера.

Рис. 1.4.5. Схема гелий-неонового лазера: 1 – стеклянная кювета со смесью гелия и неона, в которой создается высоковольтный разряд; 2 – катод; 3 – анод; 4 – глухое сферическое зеркало с пропусканием менее 0,1%; 5 – сферическое зеркало с пропусканием 1–2%.

Современные высокостабильные гелий-неоновые лазеры производятся в моноблочном исполнении. Для этого используется стеклообразное вещество – ситалл, обладающий практически нулевым температурным коэффициентом расширения. В куске ситалла в форме прямоугольного параллелепипеда просверливается канал, к торцам которого на оптическом контакте приклеиваются лазерные зеркала. Канал заполняется смесью гелия и неона. Катод и анод вводятся через дополнительные боковые каналы. Такая моноблочная конструкция обеспечивает высокую механическую и тепловую стабильность.

 

[1] Хантаро Нагаока (1865 – 1950) – японский физик, один из основоположников японской физики начала Периода Мэйдзи, основатель научной школы. Автор ряда трудов по электричеству и магнетизму, атомной физике и спектроскопии.

[2] Эрнест Марсден (1889 – 1970) – новозеландский физик. Совместно с Х. Гейгером в 1909 – 1910 гг. исполнил экспериментальное исследование прохождения альфа-частиц через тонкие пластинки из золота и других металлов.

[3] Ханс Вильгельм Гейгер (1882 – 1945) – немецкий физик, первым создавший детектор альфа-частиц и других ионизирующих излучений. Изобрёл в 1908 году счётчик Гейгера. В 1911 году с Дж. Нэттолом открыл закон Гейгера-Нэттола.

[4] Нильс Хенрик Давид Бор (1885 – 1962) – датский физик-теоретик и общественный деятель, один из создателей современной физики.

[5] Йоханнес Роберт Ридберг (1854 – 1919) – шведский физик. Занимался изучением периодической системы элементов и атомных спектров.

[6] Валентин Александрович Фабрикант (1907 – 1991) – советский физик.

[7] Николай Геннадиевич Басов (1922 – 2001) – советский и российский физик

[8] Александр Михайлович Прохоров (1916 – 2002) – советский и российский физик, один из основоположников важнейшего направления современной физики – квантовой электроники,

[9] Чарлз Хард Таунс (1915 – 2015) – американский физик.

[10] Теодор Харальд (Тед) Майман (1927 – 2007) – американский физик, создавший первый рабочий лазер.