Часть 2
Задача N 21
На вход интегратора в момент подается стационарный случайный процесс с и функцией корреляции . Процесс на выходе:
1) Определить общие выражения для функции корреляции и дисперсии процесса
2) Вычислить дисперсию для случая
3) Вычислить дисперсию для случая, когда - белый шум с и спектральной плотностью (т.е. - винеровский случайный процесс)
4) Построить графики функции для случаев (2) и (3).
Задача N 22
Осуществляется линейное преобразование случайного процесса , при этом , где . Процесс имеет плотность вероятности . Найти общее выражение для плотности вероятности и конкретизировать его для случая, когда
Задача N 23
Используя интегральное уравнение Винера-Хопфа получить соотношение для функции передачи оптимального сглаживающего фильтра с бесконечной задержкой.
Задача N 24
Показать, что согласованный фильтр обеспечивает максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе при наличии аддитивного белого шума на входе.
Задача N 25
Стационарный случайный процесс имеет плотность вероятности
(распределение Релея).
Определить плотность вероятности процесса
Задача N 26
Стационарный случайный процесс имеет плотность вероятности:
Найти плотность вероятности процесса . Получить также для частного случая .
Задача N 27
Случайный процесс имеет плотность вероятности
Найти плотности вероятности процессов:
1) на выходе диода с характеристикой
2) на выходе идеального линейного детектора с характеристикой
, где - функция Хевисайда
Задача N 28
Определить двумерную плотность вероятности процесса на выходе безинерционного нелинейного устройства, если , - нормальный случайный процесс с и ковариационной функцией .
Задача N 29
Нормальный случайный процесс , имеющий спектральную плотность пропускается через нелинейное устройство. Процесс на выходе .
Определить спектральную плотность процесса , если
Построить график .
Задача N 30
Нормальный стационарный случайный процесс имеет и функцию корреляции , где - коэффициент корреляции. Найти плотность вероятности частного от деления двух зависимых значений случайного процесса .
Задача N 31
Пусть на плоский экран с двумя параллельными щелями (двухщелевой интерферометр), расположенный в плоскости YZ, перпендикулярно падает узкополосная случайная волна (см. рис.)
, где с - скорость волны,
с ковариационной функцией (в фиксированной точке х)
θ |
d |
ξ 1 |
ξ 2 |
R |
x |
y |
ξ |
За экраном на большом расстоянии от щелей измеряется средняя интенсивность суммарного сигнала от двух щелей в зависимости от угла θ (интерференционная картина)
где .
1) Получить формулу для интерференционной картины
2) Определить угловое расстояние между интерференционными полосами
3) Оценить угловой размер интерференционной картины
Задача N 32
Гауссовский белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью подается на интегратор. На выходе интегратора
1) Найти плотность вероятности процесса .
2) Записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности процесса .
Задача N 33
Определить корреляцию приращений , на примыкающих неперекрывающихся интервалах времени и для марковского случайного процесса, определяемого дифференциальным уравнением первого порядка
( - постоянные, - гауссовский белый шум со спектральной плотностью ), в установившемся режиме при малых () и больших () интервалах и .
Задача N 34
Нелинейная система описывается стохастическим уравнением , где - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью , .
1) Найти коэффициенты сноса и диффузии и записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности процесса .
2) Упростить уравнение Фоккера-Планка пренебрегая быстрыми осцилляциями.
3) Записать упрощенное стохастическое уравнение для системы.
Задача N 35
Получить выражение для стационарной плотности вероятности марковского случайного процесса , заданного стохастическим дифференциальным уравнением:
где , - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью .
Задача N 36
Получить выражение для стационарной плотности вероятности марковского случайного процесса , заданного стохастическим дифференциальным уравнением:
где - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью .
Задача N 37
Пусть -мерный случайный процесс удовлетворяет системе стохастических уравнений
,
где - независимые гауссовские случайные воздействия, имеющие свойства белого шума: .
Записать уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова для совместной плотности вероятностей и показать, что стационарное решение этого уравнения имеет вид распределения Больцмана (константа определяется из условия нормировки).
Задача N 38
Случайный процесс определяется стохастическим дифференциальным уравнением 2-го порядка
,
- гауссовский белый шум со спектральной плотностью .
Записать эквивалентную систему 2-х стохастических дифференциальных уравнений 1-го порядка для и . Получить соответствующее уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова для совместной плотности вероятностей и показать, что стационарное решение этого уравнения имеет вид распределения Максвелла-Больцмана (константа определяется из условия нормировки). Определить точки максимума для потенциала
Задача N 39
Получить соотношение для среднего времени достижения границ винеровским случайным процессом.
Задача N 40
Пуассоновский случайный процесс определяет, сколько случайных событий произойдет на интервале , причем и вероятность состояния N в момент времени t дается распределением Пуассона .
1) Получить дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию во времени вероятностей состояний
2) Найти среднее время пребывания процесса в неизменном состоянии.