2020-06-08
71
Часть 2
Задача N 21
На вход интегратора в момент 
подается стационарный случайный процесс 
с 
и функцией корреляции 
. Процесс на выходе: 
1) Определить общие выражения для функции корреляции 
и дисперсии 
процесса 
2) Вычислить дисперсию для случая 
3) Вычислить дисперсию для случая, когда - белый шум с и спектральной плотностью 
(т.е. 
- винеровский случайный процесс)
4) Построить графики функции для случаев (2) и (3).
Задача N 22
Осуществляется линейное преобразование случайного процесса , при этом 
, где 
. Процесс имеет плотность вероятности 
. Найти общее выражение для плотности вероятности 
и конкретизировать его для случая, когда 
Задача N 23
Используя интегральное уравнение Винера-Хопфа получить соотношение для функции передачи оптимального сглаживающего фильтра с бесконечной задержкой.
Задача N 24
Показать, что согласованный фильтр обеспечивает максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе при наличии аддитивного белого шума на входе.
Задача N 25
Стационарный случайный процесс имеет плотность вероятности
(распределение Релея).
Определить плотность вероятности 
процесса 
Задача N 26
Стационарный случайный процесс имеет плотность вероятности:
Найти плотность вероятности процесса . Получить также для частного случая 
.
Задача N 27
Случайный процесс имеет плотность вероятности 
Найти плотности вероятности процессов:
1) на выходе диода с характеристикой 
2) на выходе идеального линейного детектора с характеристикой
, где 
- функция Хевисайда
Задача N 28
Определить двумерную плотность вероятности процесса 
на выходе безинерционного нелинейного устройства, если , - нормальный случайный процесс с и ковариационной функцией 
.
Задача N 29
Нормальный случайный процесс , имеющий спектральную плотность 
пропускается через нелинейное устройство. Процесс на выходе .
Определить спектральную плотность процесса 
, если 
Построить график 
.
Задача N 30
Нормальный стационарный случайный процесс имеет и функцию корреляции , где 
- коэффициент корреляции. Найти плотность вероятности частного от деления двух зависимых значений случайного процесса 
.
Задача N 31
Пусть на плоский экран с двумя параллельными щелями (двухщелевой интерферометр), расположенный в плоскости YZ, перпендикулярно падает узкополосная случайная волна (см. рис.)
, где с - скорость волны,
с ковариационной функцией (в фиксированной точке х)
| θ |
| d |
| ξ 1 |
| ξ 2 |
| R |
| x |
| y |
| ξ |
За экраном на большом расстоянии от щелей 
измеряется средняя интенсивность суммарного сигнала от двух щелей в зависимости от угла θ (интерференционная картина)
где 
.
1) Получить формулу для интерференционной картины 
2) Определить угловое расстояние между интерференционными полосами
3) Оценить угловой размер интерференционной картины
Задача N 32
Гауссовский белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью 
подается на интегратор. На выходе интегратора 
1) Найти плотность вероятности 
процесса 
.
2) Записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности процесса .
Задача N 33
Определить корреляцию 
приращений 
, 
на примыкающих неперекрывающихся интервалах времени 
и 
для марковского случайного процесса, определяемого дифференциальным уравнением первого порядка
(
- постоянные, 
- гауссовский белый шум со спектральной плотностью 
), в установившемся режиме при малых (
) и больших (
) интервалах и .
Задача N 34
Нелинейная система описывается стохастическим уравнением 
, где - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью , 
.
1) Найти коэффициенты сноса и диффузии и записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности процесса .
2) Упростить уравнение Фоккера-Планка пренебрегая быстрыми осцилляциями.
3) Записать упрощенное стохастическое уравнение для системы.
Задача N 35
Получить выражение для стационарной плотности вероятности 
марковского случайного процесса , заданного стохастическим дифференциальным уравнением:
где 
, - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью .
Задача N 36
Получить выражение для стационарной плотности вероятности марковского случайного процесса , заданного стохастическим дифференциальным уравнением:
где - белый шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью .
Задача N 37
Пусть 
-мерный случайный процесс 
удовлетворяет системе стохастических уравнений
,
где 
- независимые гауссовские случайные воздействия, имеющие свойства белого шума: 
.
Записать уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова для совместной плотности вероятностей 
и показать, что стационарное решение этого уравнения имеет вид распределения Больцмана 
(константа 
определяется из условия нормировки).
Задача N 38
Случайный процесс определяется стохастическим дифференциальным уравнением 2-го порядка
,
- гауссовский белый шум со спектральной плотностью 
.
Записать эквивалентную систему 2-х стохастических дифференциальных уравнений 1-го порядка для 
и 
. Получить соответствующее уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова для совместной плотности вероятностей 
и показать, что стационарное решение этого уравнения имеет вид распределения Максвелла-Больцмана 
(константа определяется из условия нормировки). Определить точки максимума 
для потенциала 
Задача N 39
Получить соотношение для среднего времени достижения границ винеровским случайным процессом.
Задача N 40
Пуассоновский случайный процесс 
определяет, сколько случайных событий произойдет на интервале 
, причем 
и вероятность состояния N в момент времени t дается распределением Пуассона 
.
1) Получить дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию во времени вероятностей состояний 
2) Найти среднее время пребывания процесса в неизменном состоянии.
