Дополнительная литература

1. В.Н. Тутубалин Теория вероятностей, М:., Издательский центр «Академия», 2008

2. С.А.Ахманов, Ю.Е.Дьяков, А.С.Чиркин. Статистическая радиофизика и оптика. Случайные колебания и волны. М: «Физматлит», 2010

3. Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов, М: «Наука», 1982.

4. С.М. Рытов. Введение в статистическую радиофизику. ч.1. Случайные процессы. М: «Наука», 1976.

5. Б.Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. М: «Радио и связь», 1989.

Пособия и методические указания.

А.В. Булинский. Случайные процессы. Примеры, задачи, упражнения. М: МФТИ, 2010
Б.М. Миллер, А.Р.Панков, Теория случайных процессов в примерах и задачах. М: «Физматлит», 2002

Программу составил

В.Н.Лагуткин, д.т.н., доцент

«_____»_________2012 г.

Задание на курсовую работу по «Теории случайных процессов»

Часть 1

Задача N 1

Пусть конечное множество элементарных событий составляют равновероятные события вида , где каждое может принимать значения 0 или 1, а случайная величина определяется формулой (т.е. в двоичной системе ). Определить множество значений такой случайной величины и ее распределение вероятностей.

Задача N 2

Используя теорему о дифференцировании интегралов, зависящих от параметров, получить соотношение, связывающее моментные и характеристические функции

Задача N 3

Нормальный случайный процесс в момент имеет плотность вероятности

1) Найти характеристическую функцию .

2) Вычислить математическое ожидание и центральные моменты , используя .

3) Определить характеристическую функцию и плотность вероятности суммы независимых случайных величин процесса:

Задача N 4

1) Показать, что для непрерывного случайного процесса с независимыми приращениями ковариационная функция связана с дисперсией соотношением ,

2) Получить выражения для многомерных распределений винеровского и пуассоновского случайных процессов.

Задача N 5

Двоичный счетчик пуассоновского потока частиц в каждом такте выдает значение , если в течении длительности такта τ не пришло ни одной частицы, и значение , если пришла одна или более частиц.

1) Как оценить среднюю частоту пуассоновского потока частиц λ имея запись случайной последовательности нулей и единиц?

2) Как зависит точность оценки средней частоты λ от длины записи N?

Задача N 6

Реализации случайного телеграфного процесса представляют собой кусочно-постоянные знакопеременные функции, принимающие два значения (С и -С): , где - реализации пуассоновского случайного процесса, приращения которого на произвольных интервалах времени являются случайными величинами, имеющими пуассоновское распределение с интенсивностью λ: .

Получить выражения для математического ожидания и корреляционной функции телеграфного процесса.

Задача N 7

Установить условия стационарности (в широком смысле) действительного случайного процесса.

где - случайные величины ( - не случайная).

Записать выражение для ковариационной функции при этих условиях.

При каком дополнительном условии этот процесс является эргодическим относительно среднего значения?

Задача N 8

Найти спектральную плотность случайного процесса с ковариационной функцией:

1) ;

2) ;

3) ;

Задача N 9

Пусть пуассоновский импульсный процесс задается соотношением

где ,

– моменты появления импульсов в рассматриваемом пуассоновском потоке импульсов,

все случайные величины , – статистически независимы между собой, имеют нулевое среднее значение и одинаковую дисперсию .

1) Определить среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и спектральную плотность такого процесса.

2) Построить график спектральной плотности для случая .

Задача N 10

1) Доказать, что не существует стационарного случайного процесса, корреляционная функция которого постоянна на интервале и равна нулю вне этого интервала, т. е.

2) Найти спектральную плотность случайного процесса с ковариационной функцией

Задача N 11

Показать, что случайный процесс , где и - постоянные фиксированные величины, а фаза - случайная величина с плотностью вероятности является стационарным в широком смысле.

Задача N 12

Показать, что комплексный случайный процесс

где А – комплексная случайная величина со средним и дисперсией , а ω – независимая от А действительная случайная величина с плотностью распределения , является стационарным в широком смысле. Определить спектральную плотность этого процесса.

Задача N 13

Определить ковариационную функцию и спектральную плотность теплового излучения объема газа.

Считать, что излучение представляет собой комплексный пуассоновский импульсный процесс с функцией импульсов

где u – случайные скорости излучающих молекул газа, имеющие распределение Максвелла с температурой Т.

Задача N 14

Какому условию должна удовлетворять спектральная плотность стационарного случайного процесса, чтобы этот процесс обладал первой производной?

С помощью теоремы Винера-Хинчина определить при каких значениях коэффициента функция может быть ковариационной функцией:

1) стационарного случайного процесса?

2) дифференцируемого стационарного случайного процесса?

Задача N 15

Случайный процесс , где - независимые стационарные случайные процессы с нулевыми средними и спектральными плотностями соответственно. Найти спектральную плотность процесса .

Задача N 16

Определить математические ожидания, дисперсии и ковариационные функции комплексных случайных процессов , где:

а) - действительный стационарный нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией ,

б) - винеровский случайный процесс.

Задача N 17

Нормальный стационарный случайный процесс имеет и корреляционную функцию . Определить корреляционную функцию и плотность вероятности производной процесса .

Использовать полученные результаты для приближенной оценки продольного углового размера лунной дорожки, наблюдаемой на взволнованной водной поверхности.

Задача N 18

Белый шум с и спектральной плотностью действует на RC фильтр.