Основные теоремы теории вероятностей в надежности

При расчетах надежности различных объектов часто используются теоремы сложения и умножения вероятностей, которые формулируют способы определения вероятностей суммы и произведения событий.

Суммой событий А ₁, А ₂, …, А_п называется сложное событие, состоящее в том, что осуществляется событие А ₁, А ₂ и т.д.

Произведением событий А ₁, А ₂, …, А_п называется сложное событие, состоящее в том, что осуществляется событие А ₁ и А ₂ и т.д.

Рис. 3.1. График функции распределения дискретной величины:

а – многоугольник распределения; б – график функции распределения

Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А _I + А ₂ + … + А_п) = Р (А ₁) + Р (А ₂)+ … + Р (А_п).           (3.1)

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А ₁ + А ₂ + А ₃) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + Р (А ₃) – Р (А ₁ А ₂) –      (3.2)

– Р (А ₁ А ₃) – Р (А ₂ А ₃)+ Р (А ₁ А ₂ А ₃)

или

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_п) = S Р (А_i) – S Р (А_ij) + S Р (А_iA_j A_k) – … + (3.3)

+ (–1) ^{n – 1}S P (A ₁ A ₂ … A_n).

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

S Р (А_i) = 1.                                    (3.4)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р  = 1.                                (3.5)

В ряде случаев проще определить вероятность противоположного события Р , тогда вероятность основного события легко определяется по формуле

Р (А) = 1 – Р .                                (3.6)

Пример: отказ и безотказная работа элемента.