Призмы. Различные задачи

Задачи по теме «Призмы».

Занятие №1.

«Куб. Прямоугольный параллелепипед».

 

Задача №1.

В кубе площадь полной поверхности равна 216 см². Найти ребро куба, площадь боковой поверхности, объем куба, диагональ куба, площадь диагонального сечения.

Решение.

Пусть АВCDA₁B₁C₁D₁ – данный куб. Тогда площадь его полной поверхности вычисляется по формуле . Тогда

 

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: =144 см².

Объем куба вычисляется по формуле: см³.

Чтобы найти диагональ куба B₁ D, найдем сначала BD из треугольника ABD

. Теперь из треугольника BB₁D найдем B₁D

.

Диагональное сечение – прямоугольник D₁DBB₁. Его площадь равна .

Ответ:

Заметим ряд полезных формул из решенной задачи:

            Эти формулы верны только для куба!

 

Задача №2.

Площадь диагонального сечения куба равна . Найти а) ребро куба б) площадь боковой и полной поверхности в) объем куба г) диагональ куба и угол ее наклона к плоскости основания.

Ответ: а) 5 б) 100, 150 в) 125 г)

Задача №3.

Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12, а стороны основания 6 и 8. Определить его объем, длину диагонали.

Ответ: 576,

 

Задача №4.

Основанием прямоугольного параллелепипеда – квадрат со стороной √2. Найти объем этого параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол 45^о.

 

Задача №5.

Ребро куба АВCDA₁B₁C₁D₁  равно 2. Найти расстояние между прямыми AD₁ и  B₁C.

Ответ: 2

 

Задача №6.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2: 1, а диагональное сечение квадрат с площадью 25. Найти объем параллелепипеда.

Ответ:

Занятие №2.

«Параллелепипед. Правильные призмы».

 

Задача № 7.

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда — 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.

 

Задача № 8.

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 8 см и

24 см. Найдите длины его диагоналей.

 

Задача №9.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и

12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под

углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.

 

Задача № 10.

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда – 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.

 

Задача № 11.

В правильной треугольной призме ABCА1В1С1 проведено сечение

через вершину С1 и ребро AB. Найдите периметр сечения, если сторона

основания равна 24 см, а боковое ребро – 10 см.

 

Задача № 12.

Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы, у которой сторона основания равна 10 см и высота 12 см, разбивает ее на две

треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных

призм.

 

Задача № 13.

Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения.

 

Занятие №3.

Прямые призмы.

Задача № 14.

В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60^о. Определить диагонали параллелепипеда и площадь его боковой поверхности.

Решение.

B₁                               C₁

A₁                                                    В прямом параллелепипеде   в основании лежит параллелограмм.                                                         

                          D₁     Тогда по свойству диагоналей параллелограмма

                                     

                                      найдем вторую диагональ параллелограмма:

                                     

                                     

В                      С Значит меньшая диагональ параллелепипеда соответствует

                                     диагонали 4 см в основании.

А                     D

Рассмотрим Δ ВВ₁D. ВВ₁=BD tg 60⁰=4√3, B₁D=BD/sin30⁰=8 см.

Аналогично из Δ СС₁А: АС₁=

Теперь найдем боковую поверхность

 Задача №15.

В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², высота равна 14 см. Определите диагональ призмы.

Ответ: 22 см.

Задача № 16.

Основанием прямой призмы служит ромб, диагонали которого равны 8 см и 5 см. Высота призмы 2 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 4√39 см²

Задача № 17.

Определите диагональ прямой четырехугольной призмы если диагональ основания 8 см, а диагональ боковой грани 7 см.

Ответ: 9 см

Задача № 18.

В прямом параллелепипеде стороны основания 6 и 8 см и образуют угол 30⁰. Боковое ребро 5 см. Найди полную поверхность параллелепипеда.

Ответ: 188 см²

Задача № 19.

Определить полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 14 см, а диагональ боковой грани 10 см.

Ответ: 192+32√6

Задача № 20.

В прямой треугольной призмы стороны основания относятся как 17: 10: 9. Боковое ребро равно 16., полная поверхность равна 1440 см². Определите стороны основания.

Ответ: 34, 20 и 18 см.

 

 

Занятие № 4.

Призмы. Различные задачи.

 

Задача № 21.

Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны основания 9 см и 10 см. Площадь полной поверхности 334 см². Определите его объем.

B₁                               C₁                                  Решение.

A₁                                                                                                                  

                          D₁    

                                     

                                                          

                                 Площадь основания можно определить как удвоенную площадь

                                      треугольника ABD. Его площадь найдем по трем сторонам по

                                      формуле Герона:

В                      С

                                                            р – полупериметр.

А                     D                           

                       10                                                                 см

      B                                C

                                                                                            см²

9                  17          9           Тогда площадь основания равна  см

                                                               Из формулы полной поверхности выразим

                                                               площадь боковой поверхности:

A               10         D                   см²

С другой стороны, боковая поверхность определяется по формуле

Найдем периметр основания:

Тогда 190 = 38 h

       h = 5.

Теперь найдем объем V = 72 * 5 = 360 см³.

 

Задача № 22.

В прямом параллелепипеде стороны основания 8 см и 15 см и образуют угол 60⁰. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 30⁰. Определить объем параллелепипеда.

Ответ: 780 см³

Задача № 23.

Диагональ правильной четырехугольной призмы 3,5 м, а диагональ боковой грани 2,5 м. Определить ее объем.

Ответ: 3 м³

Задача № 24.

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно √3 см. Высота основания 1 см. Найти ее объем.

Ответ:1 см³

Задача № 25.

Основание прямого параллелепипеда ромб. Площади диагональных сечений равны   100 см² и 105 см². Длина их линии пересечения 10 см. Определить объем и площадь боковой поверхности.

Ответ: 52,5 см³ и 290 см²

Задача № 26.

Три кубика с ребрами 3 см, 4 см и 5 см спаяли в один куб. Определить ребро полученного куба.

Ответ: 6 см