Дисперсионный анализ данных двухфакторного опыта

 

Дисперсионный анализ данных опыта, по изучению действия двух и более факторов, проводят в два этапа. Первый этап – разложение общей вариации результативного признака на варьирование вариантов и остаточное: CY = CV + CZ. На втором этапе сумма квадратов отклонения для вариантов разлагается на компоненты, соответствующие источникам варьирования, - главные эффекты изучаемых факторов и их взаимодействия. В двухфакторном опыте СV = CA + CB + CAB; в трехфакторном – CV = CA + CB + CC + CAB + CAC + CBC + CABC.

 

Порядок расчета

 

1. Исходные данные заносятся в таблицу двухфакторного дисперсионного комплекса и вычисляются промежуточные величины, необходимые для вычисления сумм квадратов отклонения общего для всего комплекса, межгруппового и остаточного.

 

Таблица.   - Организация двухфакторного дисперсионного комплекса

 

 

опыты

А1

А2

А3

В1

В2

В3

В4

В1

В2

В3

В4

В1

В2

В3

В4

n

N=

∑xi

∑∑xi =

∑xi2

∑(∑xi2 )=

(Σxi)2

∑(Σxi)2 =

 

Сначала двухфакторный дисперсионный комплекс обрабатывается также как однофакторный, а далее проводится анализ по фактору А и по фактору В.  

Рассчитываем дисперсии для факторов А и В и для сочетания их градаций (АВ).

 

Фактор А	nА	∑xА	(∑xi)2 / nА
А1
А2
А3
		∑∑xА =	∑(∑xi)2 / nА=	(∑∑xА)2 =
Фактор В	nВ	∑xВ	∑(∑xi)2 / nв
В1
В2
В3
В4
		∑∑xв =	∑(∑xi)2 / nв=	(∑∑xв)2 =

 

 

6. Определив значения сумм квадратов отклонения,  переходят к установлению чисел степеней свободы, которые равны:

 

- для общей дисперсии: N—1;

- для межгрупповой дисперсии: =аb—1, характери­зующей влияние обоих факторов А и В на результативный при­знак Х;

- для внутригрупповой, или остаточной, дис­перси: N—аb;

- для факториальной дисперсии А: а—1;

- для факториальной дисперсии В: b—1

- для дисперсии совместного действия факторов А и В: (а—1)(b—1).

 

После этого данные заносятся в таблицу дисперсионного анализа, в которой вычисляются дисперсия фактора А (S²_А), дисперсия фактора В (S²_В), дисперсия взаимодействия АВ (S²_АВ), дисперсия остатка и фактические значения критерия Фишера F_А, F_В, F_АВ.

 

 

 Средний квадрат (дисперсия)рассчитывается по формулам:

 

Значения фактического критерия Фишера рассчитываются по формулам:

 

Таблица – Результаты дисперсионного анализа двухфакторного опыта

 

Источник изменчивости	Сумма квадратов отлонений, SS	Числа степеней свободы, df	Средний квадрат, MS	Критерий Фишера
				Fф
По фактору А
По фактору В
Взаимодействие АВ
Остаточная				–	-
Общая			–	–	-

 

Теоретические значения критерия Фишера находятся по таблице, исходя из числа степеней свободы для дисперсии главных эффектов А, В и взаимодействия АВ (числитель) и степеней свободы дисперсии остатка (знаменатель).

Если фактическое значение критерия Фишера больше теоретического, то действие рассматриваемого фактора или взаимодействия существенно на уровне доверительной вероятности Р_0,95. Если критерий Фишера расчетный меньше теоретического значения, то делается вывод об отсутствии достоверных разностей между отклонениями. Для оценки существенности частных различий определяется обобщенная ошибка средней (S_х), ошибка разности средних (S_d), наименьшая существенная разность (НСР_0,95):

4. Для оценки существенности частных различий подсчитываются обобщенная ошибка средней (S_х), ошибка разности средних (S_d), наименьшая существенная разность (НСР_0,95):

1. обобщенная ошибка средней (ошибка опыта):  

 2. ошибка разности средних:

3.  наименьшая существенная разность (НСР) рассчитывается по формуле:

4. относительная ошибка всего опыта определяется по формуле:

Вычисляются ошибки разности средних и НСР для фактора А, фактора В и взаимодействия АВ по формулам:

 

для фактора А

 

для фактора В и взаимодействия АВ

 

Теоретическое значение критерия Стьюдента находится в таблице по числу степеней свободы остаточного рассеивания.

Сравнивая отклонения между средними со значением НСР для частных различий, а разности между средними по фактору А, фактору В и взаимодействию АВ – с НСР для фактора А и фактора В, делаются выводы о существенности этих отклонений. Если отклонения больше, чем значения НСР, или равны им, тогда эти отклонения существенны. После завершения всех расчетов пишутся выводы.

 

Пример 1. Влияние мелиорантов на урожайность овсяницы красной (г/сосуд), при рекультивации бурового шлама

Варианты    опыта	П о в т о р н о с т ь
	1	2	3	4	5	6	7
Без мелиоранта	0,6	0,7	0,9	1,2	1,4	0,9	1,3
Гипс	20,2	20,4	25,6	27,1	29,1	30,0	24,2
Фосфогипс	30,1	28,1	27,0	20,1	19,4	29,0	20,2
Известь	5,1	2,9	6,4	7,2	4,3	5,2	4,3
Сернокислое железо	15,7	18,4	19,2	20,8	26,3	25,2	24,0

 

                                          

Пример 2. Сравнительное изучение номеров штаммов-нефтедеструкторов (г/сосуд) на урожай овсяницы красной

Варианты опыта	П о в т о р н о с т ь
	1	2	3	4	5	6	7
1. Контроль	20,4	22,2	23,5	24,9	19,8	22,4	23,0
2. №3	24,8	23,3	24,6	24,9	25,0	24,3	24,2
3. №11	24,4	27,0	23,6	25,0	24,8	25,7	27,9
4. №21	24,4	25,4	25,9	25,4	24,2	25,6	25,8
5. Промышленный нефтедеструктор	27,2	25,6	26,4	27,2	27,7	28,0	26,8

 

 

ШИФР ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ ^Х

Номер задания	Повторение	Номер Задания	Повторение	Номер задания	Повторение
1.	1 2 3 4	12.	1 4 5 6	23.	1 5 6 7
2.	2 3 4 5	13.	3 5 6 7	24.	1 4 5 7
3.	3 4 5 6	14.	1 3 6 7	25.	1 3 4 7
4.	1 2 3 5	15.	1 3 5 6	26.	1 2 6 7
5.	4 5 6 7	16.	2 4 6 7	27.	2 3 6 7
6.	1 2 3 6	17.	1 3 5 7	28.	2 3 4 7
7.	2 3 5 6	18.	2 5 6 7	29.	3 4 5 7
8.	1 2 3 7	19.	1 2 5 6	30.	2 4 5 7
9.	2 3 5 7	20.	1 3 4 5	31.	1 3 4 6
10.	1 2 4 7	21.	1 2 5 7	32.	1 2 4 6
11.	2 4 5 6	22.	1 4 6 7

 

Задание

Дисперсионный анализ данных двухфакторного полевого опыта 3 х 4, проведенного методом расщепленных делянок.

«Влияние сроков сева и норм высева на урожайность зеленой массы (ц/га) овсяницы красной при рекультивации нарушенных земель (фон удобрений N₁₂₀P₁₂₀K₉₀)»

Фактор А – сроки посева (13/V; 22/V; 31/V)

Фактор В – нормы высева (10,20,30,40 кг/га)

I. Определение сумм и средних по данным таблицы урожаев

А (сроки сева)	В (нормы высева)	Повторения
		1	2	3	4
I.	1	33,0	32,0	34,2	32,3
	2	35,1	34,9	35,6	36,7
	3	37,4	37,8	36,9	37,5
	4	40,3	41,2	39,8	42,4
II.	1	36,9	37,2	36,5	37,4
	2	38,2	38,7	39,5	37,9
	3	40,9	41,2	39,6	40,6
	4	43,9	44,7	42,8	43,7
III.	1	37,7	38,4	36,9	37,0
	2	39,6	39,2	40,3	41,0
	3	42,8	43,3	42,1	42,4
	4	44,7	45,4	44,2	43,5