Дисперсионный анализ данных однофакторного полевого опыта

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р.А. Фишером, который открыл закон распределения отношения средних квадратов (дисперсий)

Fэмп. = MSфакт. / MS сл.

При дисперсионном анализе одновременно обрабатываются данные нескольких выборок (вариантов), составляющих единый статистический комплекс, оформленный в виде специальной рабочей таблицы. Структура статистического комплекса и его последующий анализ определяются схемой и методикой эксперимента.

Сущностью дисперсионного анализа является разложение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части – компоненты, соответствующие структуре эксперимента – и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию. Обработку данных полевого опыта проводят в такой последовательности:

1) исходные данные заносятся в таблицу урожаев, определяются суммы и средние по вариантам, суммы по повторениям, средняя опыта;

2) вычисляются суммы квадратов отклонений от всех источников варьирования;

3) составляется таблица дисперсионного анализа и проверяется нулевая гипотеза (Н₀) по F-критерию.

Если Fф больше или равен Fт, то определяется существенность частных различий и группируются варианты на основе НСР_0,95.

Если Fф меньше Fт и Н₀ не отвергается, то все разности между выборочными средними находятся в пределах случайных отклонений, и в этом случае вычисляется только ошибка опыта Sх.

Оценка значимости разности между средними по наименьшей существенной разности

Величина наименьшей существенной разности (НСР) – является своеобразной ценой деления, разрешающей способностью опыта при оценке разности выборочных средних.

Критерий НСР = t_0,5* Sd указывает предельную ошибку для разности двух выборочных средних.

Если фактическая разность больше НСР_0,5(d ≥ НСР_0,5), то она значима, существенна, при d ≤ НСР_0,5– несущественна.

Дисперсионный анализ данных однофакторного полевого опыта

Порядок расчетов

1. Исходные данные заносятся в таблицу однофакторного дисперсионного комплекса и вычисляются промежуточные величины, необходимые для вычисления сумм квадратов отклонения общего, факториального и остаточного варьирования.

Таблица - Однофакторный дисперсионный комплекс

Признак	Градации
Признак
x _i
n		N=
∑x_i		∑∑x_{i =}
(Σx_i)²		∑ (Σx_i)²=
∑x_i²		∑(∑x_i²)=

x_i — варианты, или даты, входящие в состав комплекса

n — численность вариант x_i в каждой из градаций дисперсионного комплекса.

N=∑n — общее число наблюдений, или объем комплекса;

Промежуточные величины

1. x_i - каждое индивидуальное значение.

2. ∑x_i– сумма вариант отдельной выборки, по отдельной градации. фактора

3. ∑∑x_i= сумма вариант всего комплекса.

3. (Σx_i)^{2 -}квадрат общей суммы индивидуальных значений.

4. Σ(x_i)² / N - константа, необходимая для вычитания из каждой суммы квадратов.

5. Σ(x_i)² - сумма квадратов индивидуальных значений вариант всего комплекса.

2. Вычисляются суммы квадратов отклонений всех источников варьирования

а) межгрупповая:

б) общая:

в) остаточная:

3. Составляется таблица результатов дисперсионного анализа и проверяется нулевая гипотеза (Н₀) по F-критерию.

Рассчитанные значения суммы квадратов заносят в таблицу результатов дисперсионного анализа, затем вычисляются средний квадрат факториальный (межгрупповой MS, (дисперсия S²)), средний квадрат остатка (внутригрупповой (дисперсия остатка S²)) и критерий Фишера фактический F_Ф.

Определение чисел степеней свободы

1.для общего варьирования - df =N—l;

2. для факториального варьирования df =a— 1;

3. для остаточной вариации df =(N— 1)— (а — 1)= N-а.

Через а обозначено число градаций фактора.

Значения среднего квадрата (выборочные дисперсии) получают делением суммы квадратов отклонений на соответствующие числа степеней свободы.

Таблица дисперсионного анализа

Источник изменчивости	Суммы квадратов отклонений SS	Степени свободы, df	Средний квадрат, MS
Между градациями
Случайный				-	-
Общий			-	-	-

Теоретическое значение критерия Фишера находится по таблице приложения В по числу степеней свободы вариантов (числитель) и ошибки (знаменатель). На их пересечении находится Fтеор.

4. Для оценки существенности частных различий подсчитываются следующие показатели:

1. обобщенная ошибка средней (ошибка опыта):

2. ошибка разности средних:

Примечание: S²_Z - дисперсия для остатка

3. наименьшая существенная разность (НСР) рассчитывается по формуле:

4. относительная ошибка всего опыта определяется по формуле:

Теоретическое значение критерия Стьюдента (t_0,95) находится по таблице в зависимости от числа степеней свободы остаточной дисперсии и уровня значимости.

На основании выполненных расчетов делаются выводы: если фактическое значение критерия Фишера больше теоретического, то опыт достоверен на уровне доверительной вероятности – Р_0,95, в опыте есть хотя бы один вариант, который существенно отличается от всех остальных. В этом случае нулевая гипотеза отвергается, и дисперсионный анализ продолжают.

Если критерий Фишера расчетный меньше теоретического значения, то делают вывод об отсутствии достоверных разностей между отклонениями от контроля.

Сравнивая разности отклонений от контроля со значением НСР, делают выводы о существенности этих отклонений в конкретных вариантах. При этом придерживаются правила: если отклонение от стандарта больше, чем значение НСР, или равно ему, тогда эти отклонения существенны. По значению относительной ошибки опыта S_X%, делают вывод о точности опыта. Точность принято считать высокой при S_X% меньшей или равной 3, средней при S_X% от 3 до 6 и низкой при S_X% большей 6 %. Этими выводами и заканчивается дисперсионный анализ однофакторного полевого опыта.