Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a, b ]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

Пример 3. Вычислить

Решение. Пусть u = ln x, тогда, v = x. По формуле (4)

Физический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу.

Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):