2020-06-08
113
Занятие 92-93
1. Находим область определения D(f) функции y = f(x).
2. Проверяем функцию на четность.
Если f(-x) = f(x), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.
Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.
3. Если функция периодическая, то находим период функции. Периодические функции только тригонометрические, остальные – непериодические.
4. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox).
Для этого мы решаем уравнение f(x) = 0.
Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (Oy). Для этого ищем значение функции при x=0.
5. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства 
f(x) >0 и f(x) <0 .
6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
Находим производную
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения
- это стационарные (критические) точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.
Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.
Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.
Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.
7. Найти значения функции в точках экстремума.
8. По данным исследования построить график функции.
Пример1 Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.
Решение.
1) D(f) = R
2) Проверим функцию на чётность/нечётность:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
3) Функция непериодическая.
4) Нули функции.
С осью Оy:
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f(x) = 0:
, если затруднительно не находим.
6) Возрастание, убывание.
Найдём критические точки:
Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
Следовательно, функция возрастает на 
и убывает на 
.
7). Экстремумы функции
точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»
. 
точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».
8). 
: 
.
9) Строим график функции.
Пример 2
Контрольная работа ( выполняется обязательно в срок)
