Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте число опытов соответствует N= 2ⁿ. Поэтому при большом числе факторов n реализация ПФЭ становится практически невозможной. В действительности эффектами взаимодействия факторов больших порядков в большинстве случаев можно пренебречь (так как влияние их незначительно) или априори известно, что некоторые из них отсутствуют. Известно, что число опытов, по которым определяются оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома -- уравнении регрессии, должно быть равно числу определяемых коэффициентов или быть хотя бы на единицу больше. Исходя из изложенных предпосылок, число опытов для нахождения оценок неизвестных коэффициентов такого уравнения для большинства практических случаев может быть существенно уменьшено. Это достигается с помощью дробных факторных планов, или дробных факторных экспериментов (ДФЭ) представляющих дробные реплики полного факторного эксперимента. Если в ПФЭ наблюдения производятся во всех вершинах N-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них.

Пример построения дробной реплики, с условием, что эффекты взаимодействий отсутствуют, то есть модель имеет вид:

у =а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3

При таком виде зависимости неизвестными являются четыре коэффициента, для определения которых достаточно, как минимум, четыре опыта. Рассмотрим матрицу ПФЭ типа 2³ (таблица 4).

Таблица 4 Матрица планирования для ПФЭ типа 23

Для оценки коэффициентов а_j, j=0,3 достаточно четырех опытов (строк). Выберем строки 5,2, 3, 8 и построим матрицу плана

х₁ х₂ х₃

-1 -1 +1

Х= +1 -1 -1

-1 +1 -1

+1 +1 +1

в которой первые два столбца являются матрицей плана двухфакторного эксперимента вида 2². Следовательно, число опытов в данном плане будет N = 2²=2^3-1 или N= 2³*2^-1 Построенная таким образом матрица обладает тремя свойствами: ортогональностью, нормировкой и симметричностью. Но раз матрица плана обладает данными свойствами, то, следовательно, она выбрана не произвольным образом, а по какому-то расчету. Показатель степени в выражении для числа опытов (3 -- 1) показывает дробность матрицы плана ПФЭ N = 2³, то есть дробная матрица планирования составляет полуреплику плана ПФЭ. Если сопоставить матрицу Х дробного факторного эксперимента 2^3-1 и ПФЭ 2³, то можно заметить, что переменная х, в точках плана удовлетворяет уравнению

х₃=х₁*х₂

которое имеет свой определенный смысл и называется генерирующим соотношением (ГС).

Таким образом, дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий строго определенную часть ПФЭ. Матрицу, получаемую при ДФЭ, называют дробной матрицей планирования (ДМП) Число строк ДМП в общем случае определяется соотношением

N 2^n-p,

где n -- число линейных факторов; p -- показатель дробности.

Для (п -- р) факторов, условно называемых основными, строится матрица полного факторного эксперимента, а для р факторов, называемых дополнительными, уровни варьирования в опытах выбираются на основании генерирующего соотношения. Генерирующее соотношение--это формальное равенство, показывающее, знаки каких основных переменных, стоящих в правой части равенства, необходимо перемножить для получения знака дополнительного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП оказалась ортогональной, нормированной и симметричной.

Разрешающей способностью плана ДФЭ называется его способность получать такие оценки коэффициентов а_jпри независимых переменных, в которых идеальные коэффициенты а_j (их математические ожидания) смешаны с коэффициентами взаимодействий наиболее высокого порядка. Чем с большим порядком взаимодействий смешаны факторы, тем большей разрешающей способностью обладает данный план. Данное определение основывается на том, что в опытах связи сразу между всеми факторами менее вероятны, чем между какими-либо их комбинациями. Поэтому можно считать, что тем выше порядок взаимодействия, тем менее он значим и тем большей уверенностью им можно пренебречь.

Статистическая обработка результатов ДФЭ аналогична обработке при ПФЭ.