Критерий D-оптимальности

Суть используемого критерия D-оптимальности состоит в требовании выбора таких планов, которые обеспечивают минимальный объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов модели. Эллипсоид рассеяния имеет такие размеры, что ковариационная матрица случайного вектора (), равномерно распределенного на нем, совпадает с матрицей дисперсии D(P). Чем сильнее рассеяние вектора относительно центра распределения, тем большие размеры имеет эллипсоид рассеяния, которые являются мерой концентрации случайного вектора р около его математического ожидания, равного истинному значению вектора коэффициентов модели. Таким образом, D-оптимальный план позволяет получить оценки, имеющие минимально возможное рассеяние относительно центра распределения.

Пусть Q_a. — область возможных значений варьируемых переменных. Тогда задача планирования заключается в том, чтобы наилучшим образом расположить экспериментальные точки в области С1_Х, от вида которой будет зависеть решение. Естественно, что найти заранее планы для всех возможных областей Г2_Д. практически невозможно, поэтому предметом изучения являются планы для областей специального вида (например, для гиперкуба).

Полагаем, что вид математической модели некоторого объекта задан, наблюдения удовлетворяют принятой модели, обработка экспериментальных данных осуществляется с помощью МНК. Дисперсионная матрица С (следовательно, и информационная матрица М) зависит от плана эксперимента D, т.е. от положения N опытов в области С1_Х. Критерий D-оптимальности требует такого выбора плана D, содержащего N опытов, при котором определитель С имеет минимальную величину. Естественно, точки постановки опытов должны выбираться из условия принадлежности их к заданной области Q_x.

Требование минимальной величины определителя матрицы С эквивалентно требованию максимальной величины определителя матрицы М. Таким образом, критерий D-оптимальности планирования эксперимента, состоящего из заданного числа N опытов, может быть определен с помощью следующих эквивалентных условий:

где D* — оптимальный план в смысле критерия D-оптималь- ности [5, 6]. Таким образом, чтобы сформулировать задачу нахождения оптимального плана эксперимента, необходимо задаться видом модели, определить область fi_xварьирования переменных и выбрать число экспериментов N. Далее необходимо осуществить поиск наилучшего в смысле критерия (3.33) плана D *.

Этот общий подход к проблеме планирования эксперимента, однако, далеко не всегда оказывается приемлемым. Другой путь практического использования критерия D- оптимальности для решения сформулированной задачи планирования эксперимента связан с отказом от строгого выполнения условий оптимальности. Он заключается в следующем: каким-либо образом находят D-оптимальные планы для различных видов моделей ряда типовых областей О_д., не связанные с заданным числом экспериментов, а лишь определяющие соотношение числа опытов в различных точках области Q_v. Такие планы называются непрерывными. Далее исследователь, задавшись некоторым N и пользуясь непрерывным планом, определяет конкретный план эксперимента, стремясь соблюсти соотношения частот непрерывного D-оптимального плана. Полученный план может быть не строго D-оптимальным, а лишь близким к нему.