Теоретическое введение

 

Реальный колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, конденсатора ёмкостью С и активного сопротивления R. (рис. 5.1). При замыкании контура с предварительно заряженным конденсатором в нем возникают затухающие электромагнитные колебания.

R

k

L

+q 2

-q 1

C

 

 

Рис. 5.1

 

Дифференциальное уравнение, затухающих колебаний в контуре можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи:

E_с,                    (5.1)

где  и  - значение потенциалов на обкладках конденсатора, E _с - ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке. С учетом того, что

,  и E_с ,               

уравнение (5.1) принимает вид

                                                        (5.2)

После замены , , получим стандартное дифференциальное уравнение, описывающее собственные затухающие колебания:

                                                      (5.3)

Здесь  - коэффициент затухания,  - собственная циклическая частота незатухающих колебаний.

Решение дифференциального уравнения (5.3) имеет вид

              (5.4)

где  - амплитуда затухающих колебаний, q₀ =А₀ - начальная амплитуда,  - частота затухающих колебаний в контуре.

Учитывая связь заряда на конденсаторе с напряжением на его обкладках, получим

,                     (5.5)

где  - значение напряжения в начальный момент времени. График затухающих колебаний напряжения на обкладках конденсатора представлен на рис. 5.2.

0

t

U

T

U0

                                                                

 

Рис. 5.2

Амплитуда колебаний напряжения изменяется по экспоненциальному закону

,                        (5.6)

а период затухающих колебаний определяется выражением

                      (5.7)

С увеличением R, а следовательно, и b, период затухающих колебаний растёт, стремясь к бесконечности при

.                    (5.8)

Это означает, что при  колебательный процесс переходит в апериодический. Значение R_кр называется критическим сопротивлением.