Свойства равномерно сходящихся рядов

Функциональные последовательности

Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Последовательность { f_n(x) } сходится к функции f(x) на отрезке [ a,b ], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство

выполняется при n >N.

При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [ a,b ] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [ a,b ], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [ a,b ], т.е. будет общим для всех точек.

Последовательность { f_n(x) } равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [ a,b ], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n >N для всех точек отрезка [ a,b ].

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Функциональные ряды

Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х₀.

Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [ a,b ], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [ a,b ], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.