Примеры из учебника по алгебре 10-11класс Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова

Степенная функция

Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени p:

Показатель p=2n -четное натуральное число

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

· область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

· множество значений - неотрицательные числа, т. е. y > или = 0;

· функция y=x²ⁿ четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ;

· функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x>0.

· Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ^-1, где натуральное число, обладает следующими свойствами:

· область определения - множество R;

· множество значений - множество R;

· функция y=x²^n-1 нечетная, так как (-x)²^n-1=x²^n-1;

· функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x²ⁿ^-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

Показатель p=-2n, где n - натуральное число

В этом случае степенная функция y=x^-2ⁿ=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

· область определения - множество R, кроме x=0;

· множество значений - положительные числа y>0;

· функция y=1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;

· функция является возрастающей на промежутке x < 0 и убывающей на промежутке x>0.

· Графики функций вида y=x^-ⁿ, где n — натуральное число, называются

· гиперболами порядка n.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число

В этом случае степенная функция y=x^-(2ⁿ^-1) обладает следующими свойствами:

· область определения - множество R, кроме x=0;

· множество значений - множество R, кроме y=0;

· функция y=x^-(2^n-1) нечетная, так как (-x)^-(2^n-1) = -x^-(2^n-1);

· функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2ⁿ^-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³.

Примеры из учебника по алгебре 10-11класс Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова,

М.И. Шабунин

119. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений:

120. (Устно.) Является ли функция y=x^p возрастающей (убывающей) при x>0, если:

1) P=7, y=x⁷- возрастающая при x>0;

2) P=16, y=x¹⁶- возрастающая при x>0;

3) P= -3, y=x^-3- убывающая при x>0;

4) P= -7, y=x^-7- убывающая при x>0;

5) P= -4, y=x^-4- убывающая при x>0;

6) P= -10, y=x^-10- убывающая при x>0.

121. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

122. Пользуясь свойствами степенной функции, сравните с

единицей:

2) 0,2³: 1= 0,2⁰>0,2³, т.к. 0,2<1;

3) 0,7⁹: 1=0,7⁰>0,7⁹, т.к. 0,7<1;

123. Построить график функции, указать её область

определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:

124. Сравните значения выражений:

125. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:

126. Найти промежутки, на которых график функции:

127. Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):