Обобщение и систематизация материала по курсу

1 2

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 1. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка

Решение. Рассмотрим уравнение кривой:

Выпишем матрицу квадратичной части:

Матрица квадратичной формы:

Найдем корни характеристического уравнения .

- собственные значения.

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению :

Решением являются векторы , , базисом пространства решений является вектор . Нормируем его:

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению :

Решением являются векторы , , базисом пространства решений является вектор . Нормируем его:

- собственный ортонормированный базис.

Перейдем к новым координатам (x', y') с помощью матрицы перехода от исходного ортонормированного базиса к собственному ортонормированному базису

- матрица перехода

Искомое преобразование .

Выпишем преобразование координат:

Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол : по часовой стрелке: по y 4 единицы, по x - 3 единицы

Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Выделим полный квадрат по переменной y'.

Преобразование параллельного переноса запишется в виде

Получаем каноническое уравнение параболы

Новый центр системы координат ).

Пример 2. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка

Решение. Рассмотрим уравнение кривой:

Выпишем матрицу квадратичной части:

Матрица квадратичной формы:

Найдем корни характеристического уравнения .

- собственные значения.

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению :

Решением являются векторы , , базисом пространства решений является вектор . Нормируем его:

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению :

Решением являются векторы , , базисом пространства решений является вектор . Нормируем его:

- собственный ортонормированный базис.

- матрица перехода

Искомое преобразование .

Выпишем преобразование координат:

Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол : против часовой стрелки на угол

Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Преобразование параллельного переноса запишется в виде

Получаем каноническое уравнение вырожденной параболы или пару параллельных прямых

Новый центр системы координат ).

Пример 3. В базисе пространства скалярное произведение задано матрицей Грама .

Найти скалярное произведение векторов x = (–3, 1) и y = (2, –1). Найти модули векторов x и y.

Решение.

= =-27

= =37

= =20

Пример 4. Пусть задан линейный оператор , действующий в каноническом базисе пространства геометрических векторов . - композиция отражения относительно плоскости x = y и поворота вокруг оси Oy на против часовой стрелки.

1. Найти матрицу оператора.

2. Найти образ вектора .

3. Найти ядро и образ оператора.

4. Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.

5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора.

Решение.

Пусть оператор есть отражение относительно плоскости x = y.

Оператор есть поворот вокруг оси Oy на против часовой стрелки.

Тогда действие оператора состоит в последовательном выполнении операторов и соответственно.

В матричном виде, матрица оператора будет равна произведению матриц операторов и

1. Найдем матрицу оператора , для этого подействуем оператором на базисные векторы.

;

Составим матрицу оператора, выписав координаты образов базисных векторов по столбцам:

, - невырожденный.

Найдем матрицу оператора , для этого подействуем оператором на базисные векторы.

;

Составим матрицу оператора, выписав координаты образов базисных векторов по столбцам:

, - невырожденный.

Матрица оператора - матрица

2. Пусть - образ вектора, пусть , , тогда верно соотношение: .

3.1. Пусть . Решим матричное уравнение , где .

, откуда

, система имеет единственное тривиальное решение, ,

3.2. Найдем образы базисных векторов: , , . Исследуем систему на линейную независимость. Координаты образов образуют матрицу , ранг которой равен 3. Базисом являются векторы , ,

. .

4. По критерию оператор обратим, так как .

5. Собственные векторы предлагается найти самостоятельно.

Пример 5. Квадратичная форма задана в некотором базисе в виде . Записать матрицу заданной квадратичной формы и найти ее значение на векторе .

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

Значение формы на векторе вычислим по формуле:

Пример 5. Найти все значения параметра , при котором положительно определена следующая квадратичная форма. В ответе указать наименьшее целое значение , при котором положительно определена квадратичная форма

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы B.

, ,

Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными.

Решим систему неравенств:

Общее решение

Наименьшее целое значение , при котором положительно определена квадратичная форма равно 7.

Пример 7. Доказать, что векторы вида образуют линейное подпространство в . Найти его базис и размерность.

Решение.

Пусть вектор - произвольный вектор из подпространства . Вектор x можно представить в виде:

Рассмотрим векторы . Ранг матрицы равен 2. Векторы линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.

Таким образом, базис пространства образуют векторы . Размерность пространства равна 2.

Пример 8. Какие из заданных систем векторов образуют базис в . Найти разложение вектора x = (3, 1, 2) в этом базисе.

а)

б)

Решение.

а) Составим матрицу из данных векторов, выписав их координаты в столбцы:

. Так как , то векторы, образующие линейно зависимы и не могут образовывать базис в пространстве .

б) Составим матрицу из данных векторов, выписав их координаты в столбцы:

. Так как , то векторы, образующие линейно независимы и образуют базис в пространстве .

Пример 9. В пространстве заданы векторы: , , Показать, что система этих векторов образует базис в . Найти матрицу перехода от этого базиса к каноническому базису пространства и координаты вектора x = (-5, -1, 0) в этом базисе.