Сравнение двух средних. Модифицированный тест Стьюдента

     При интерпретации результатов химического анализа возникают и более сложные задачи. Предположим, необходимо сравнить два результата анализа одного и того же образца, полученные разными методами, и при этом оба результата содержат сравнимые между собой случайные погрешности. В этом случае уже нельзя ни один из результатов считать точной величиной и, соответственно, применять простой тест Стьюдента. Математически задача сводится в этом случае к установлению значимости различия между двумя средними значениями  и .

     Для решения этой задачи используют модифицированный тест Стьюдента. Он существует в двух вариантах: точном и приближенном. Точный вариант применяют тогда, когда дисперсии соответствующих величин  и  различаются незначимо (что, в свою очередь, необходимо предварительно проверить с помощью еще одного статистического теста - теста Фишера, см. следующий раздел). При значимом различии  и  применяют приближенный вариант (приближение Уэлча).

     В точном варианте модифицированного теста Стьюдента тестовая статистика вычисляется как

 .                      (19)

Как видим, по способу вычисления она весьма похожа на тестовую статистику простого теста Стьюдента (см. формулу (18)). В выражении (19) n ₁ и n ₂ - числа параллельных значений, из которых рассчитаны величины  и , соответственно, а  - среднее стандартное отклонение, вычисляемое как

 .          (20)

Величины f ₁ и f₂ - числа степеней свободы соответствующих дисперсий, равные n ₁-1 и n ₂-1. Критическим значением служит коэффициент Стьюдента t (P, f) для выбранной доверительной вероятности P (обычно 0.95) и числа степеней свободы

f = f ₁+ f ₂= n ₁+ n ₂-2.                           (21)

Таким образом, значимое различие между  и  имеет место тогда, когда

 . (22)

     В приближении Уэлча тестовая статистика вычисляется следующим образом:

 .                               (23)

Критическим значением вновь служит коэффициент Стьюдента t (P, f). Число степеней свободы в этом случае вычисляется как

                (24)

и округляется до ближайшего целого числа. Приближенный вариант теста Стьюдента недостаточно достоверен, особенно при малых значениях f ₁ и f ₂. На практике тест Стьюдента-Уэлча применяют очень редко. Вместо него почти всегда можно использовать простой вариант теста Стьюдента (см. пример 4).