Верные и неверные неравенства

Лекционное занятие.

Инструкция по выполнению:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом «Неравенства: область допустимых значений».
2. Законспектируйте вкратце, выписав основные определения, формулы и т.д.
3. Фото проделанной работы отправить в личные сообщения https://vk.com/id386892400, либо на почту nemkova.anna96@mail.ru, либо в WhatsApp на номер 89876059849 не позднее установленного срока.

 

«Неравенства: область допустимых значений»

Обратной стороной равенства выступает неравенство.

1. Понятие неравенства, как и понятие равенства, связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и - одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные.

В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.

Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше, а какая – меньше.

На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно, он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD. Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти.

Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF.

Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.

Определение 1.1.

Неравенства - это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.

Определение 1.2.

Знаки меньше < и больше > называют знаками строгих неравенств, а записанные с их помощью неравенства – строгими неравенствами.

Определение 1.3.

Знаки меньше или равно ≤ и больше или равно ≥ называют знаками нестрогих неравенств, а составленные с их использованием неравенства – нестрогими неравенствами.

Сфера применения строгих неравенств понятна из вышеприведенной информации. А для чего нужны нестрогие неравенства? На практике с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.

Отсюда становится понятно, почему знаки < и > получили название знаков строгих неравенств, а ≤ и ≥ - нестрогих. Первые исключают возможность равенства объектов, а вторые – допускают ее.

Верные и неверные неравенства.

Неравенства могут быть верными или неверными.

Определение 2.1.

Неравенство является верным, если оно соответствует введенному выше смыслу неравенства, в противном случае оно является неверным.

Например, 3≠3 – это неверное неравенство, так как числи 3 и 3 равные. Другой пример: пусть S – это площадь некоторой фигуры, тогда S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB|. А вот неравенства −3<12, |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает правилу сравнения чисел с разными знаками, второе – выражает неравенство треугольника, а третье – согласуется с определением модуля числа.

Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.п., означающие одно и то же.

Свойства неравенств.

Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.

Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.

Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:

• антирефлексивность;
• антисимметричность;
• транзитивность.

Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и a<a – являются неверными. Свойство антисимметричности утверждает, что если первый объект больше (меньше) второго, то второй объект соответственно меньше (больше) первого. В формальной записи, если a>b, то b<a, а также, если a<b, то b>a. Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из a<b и b<c следует, что a<c, а также, из a>b и b>c следует, что a>c. Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.

В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:

• рефлексивности: имеют место неравенства a≤a и a≥a (так как они включают в себя случай a=a);
• антисимметричности: если a≤b, то b≥a, и если a≥b, то b≤a;
• транзитивности: из a≤b и b≤c следует, что a≤c, а из a≥b и b≥c следует, что a≥c.