Получить выражения для КЧХ, АЧХ и ФЧХ в общем виде

Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения. Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

По определению КЧХ – отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонического сигнала в зависимости от его частоты.

Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т. е. являются четырехполюсниками.

Рисунок 1. Схема последовательного колебательного контура с емкостной нагрузкой.

 

Найдём КЧХ, АЧХ, ФЧХ этого четырёхполюсника.

КЧХ: ;     (1)

АЧХ: ;                                    (2)

ФЧХ = φ _вых ‑ φ _вх.                                             (3)

В формулах (1) – (3) используется входное сопротивление контура Z_вх. Для его нахождения воспользуемся схемой замещения контура.

Рисунок 2. Схема замещения контура.

 

,

где  – мнимая единица.

Модуль входного сопротивления запишется как:

. (4)

Из рисунка 2 видно, что выходное емкостное сопротивление определяется как:

 или .                         (5)

Тогда используя формулы (4) и (5) окончательно АЧХ можно записать:

.                            (6)

При резонансной частоте , АЧХ = Q (добротность).

Далее для вычисления ФЧХ определим входную φ _вх и выходную φ _вых фазы колебаний.

Воспользуемся векторной диаграммой амплитуд падения напряжений для последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рисунок 3).

 

Рисунок 3. Диаграмма амплитуд падения напряжений для последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

 

Из рисунка 3 видно, что входную фазу φ _вх можно определить через тангенс:

 или                   (7)

Выходная фаза φ _вых определяется конденсатором, поэтому:

.                                            (8)

Учитывая формулы (7) и (8) получим выражение для ФЧХ:

.                          (9)

КЧХ соответственно с учетом формул (6) и (9) запишется:

.              (10)

Проводимостью называют величину обратную полному сопротивлению. Входная проводимость контура (комплексная проводимость):

(11)

где , , .

Если X положительно, то и b положительно. При X отрицательном b также отрицательно.

Пункт 5