2020-07-12
338
Практическое занятие
по теме: «Решение комбинаторных задач».
Цель работы: решение задач на расчет выборок, с применением элементов и формул комбинаторики, развитие самостоятельной мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов.
По завершению практического занятия студент должен уметь: решать задачи на расчет выборок, с применением элементов и формул комбинаторики.
Продолжительность: 2 аудиторных часа (90 минут)
Необходимые принадлежности
1. Раздаточный материал в виде задания и таблиц.
Задания
Вариант 1
1. Сколькими способами могут разместиться пять человек вокруг круглого стола?
2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1;2;5;8;9 так чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?
3. В бригаде из двадцати пяти человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
4. В вазе с фруктами лежит 12 персиков и 9 слив. Сколькими способами можно выбрать 4 персика и 3 сливы?
Вариант 2
1. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг?
2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют семь команд?
3. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
4. На полке стоит 4 энциклопедии и 11 детективов. Сколькими способами можно выбрать пять детективов и две энциклопедии?
Оформление отчета
1. Решение заданий записать в тетрадь для практических занятий.
Контрольные вопросы
- Что называется перестановкой из n элементов?
- Какой смысл имеет запись n!?
- По какой формуле вычисляют число перестановок из n элементов?
- Что называется размещением из n элементов по k?
- По какой формуле вычисляют число размещений из n элементов по k?
- Что называется сочетанием из n элементов по k?
- По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по k?
Литература
1. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика 2016 ОИЦ «Академия».
2. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач 2016 ОИЦ «Академия».
Практическое занятие
по теме: «Вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики».
Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием формул комбинаторики, развитие самостоятельной мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов.
По завершению практического занятия студент должен уметь: вычислять вероятности событий с использованием формул комбинаторики.
Продолжительность: 2 аудиторных часа (90 минут)
Необходимые принадлежности
1. Раздаточный материал в виде задания и таблиц.
Задания
Вариант 1
1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
3. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы 2 шара оказались белыми, а один черным?
4. Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп. Найти относительную частоту появления бракованных ламп.
5. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. найти число годных приборов, если всего было проверено 250 приборов.
Вариант 2
1. В урне имеется 20 шаров, среди которых 12 красного цвета. Из урны наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что извлеченные шары не красные.
2. В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных.
3. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?
4. По цели произведено 40 выстрелов, причем зарегистрировано 37 попаданий. Найти относительную частоту промахов.
5. При испытании партии телевизоров относительная частота бракованных телевизоров оказалась равной 0,15. найти число качественных телевизоров, если было проверено 400 телевизоров.
Оформление отчета
1. Решение заданий записать в тетрадь для практических занятий.
Контрольные вопросы
- Какое событие называют достоверным?
- Какое событие называют невозможным?
- Дайте определение противоположных событий.
- Сформулируйте классическое определение вероятности.
- Чему равна вероятность достоверного события?
- Чему равна вероятность невозможного события?
- Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
- Что называется относительной частотой события?
Литература
1. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика 2016 ОИЦ «Академия».
2. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач 2016 ОИЦ «Академия».
Практическое занятие
по теме: «Вычисление вероятностей сложных событий».
Цель работы: проверка умений решать задачи на вычисление вероятностей сложных событий, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.
По завершению практического занятия студент должен уметь: решать задачи на вычисление вероятностей сложных событий.
Продолжительность: 2 аудиторных часа (90 минут)
Необходимые принадлежности
1. Раздаточный материал в виде задания и таблиц.
Задания
Вариант 1
1. В пирамиде 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,85; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
2. В первой коробке содержится 25 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,85, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
4. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набранные цифры правильные.
5. Из 50деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Вариант 2
1. В пирамиде 25 винтовок, 8 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,65. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
2. В первой коробке содержится 35 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 25 ламп, из них 10 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,7, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.
5. Из 70деталей 20 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех – с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Оформление отчета
1. Решение заданий записать в тетрадь для практических занятий.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте теорему умножения событий.
- Сформулируйте теорему сложения событий.
- Формула условной вероятности.
- Формула полной вероятности.
Литература
1. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика 2016 ОИЦ «Академия».
2. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач 2016 ОИЦ «Академия».
Практическое занятие
по теме: «Решение задач с использованием формул полной вероятности и Бейеса».
Цель работы: Проверить умения выполнять арифметические действия над комплексными числами, записывать комплексные числа в различных формах.
По завершению практического занятия студент должен уметь: выполнять арифметические действия над комплексными числами, записывать комплексные числа в различных формах.
Продолжительность: 2 аудиторных часа (90 минут)
Необходимые принадлежности
1. Раздаточный материал в виде задания и таблиц.
Задания
Задача 1.
В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.
а) Какова вероятность того, что этот шар белый?
б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?
Задача 2
В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.
Задача 3
Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал "1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал "0”?
Задача 4
Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3.
а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент;
в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом;
с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился.
Задача 5
В упаковке находилось 7 изделий первого сорта и 5 изделий второго сорта, внешне неразличимых. При транспортировке два изделия были похищены. После этого из упаковки было извлечено наудачу изделие и подвергнуто проверке на качество.
а) вычислить вероятность того, что были похищены изделия второго сорта;
в) вычислить вероятность того, что среди похищенных изделий одно было первого сорта, другое второго сорта;
с) вычислить вероятность того, подвергнутое проверке изделие было второго сорта;
d) вычислить вероятность того, что похищенные изделия были второсортными
Оформление отчета
1. Решение заданий записать в тетрадь для практических занятий.
Контрольные вопросы
1. Формула полной вероятности.
2. Формула Бейеса.
Литература
1. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика 2016 ОИЦ «Академия».
2. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач 2016 ОИЦ «Академия».
Практическое занятие
по теме: «Решение задач с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа».
Цель работы: проверить умения решать задачи с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа, развитие логического и творческого мышления студентов, самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.
По завершению практического занятия студент должен уметь: решать задачи с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа.
Продолжительность: 2 аудиторных часа (90 минут)
