Требования к содержанию отчета по работе

Практическая работа № 4

Тема: «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка».

 

Цель работы:

развитие навыков решения простейших дифференциальных уравнений, нахождение общих и частных решений.

 

Порядок выполнения работы:

1.Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.

2.Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3.Сделайте выводы по результатам работы

 

 

Теоретическая часть

Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков.

Общий вид ДУ:

, , 

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение

Решением  ( или интегралом) ДУ называется такая функция , подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.

 

Процесс нахождения решения называется интегрированием ДУ.

 

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение где .

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.  Интегрируем обе части:

 

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Вместо записи обычно пишут .

В данном случае:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

 

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение: . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

 В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

В общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

 Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разделены, интегрируем обе части:
= >    = > = >

Решение распишу очень подробно:
= > = >

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:
 = > = > = >

общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

               

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

- определение дифференциального уравнения первого, второго порядка

- понятие общего решения дифференциального уравнения

- понятие частного решения и суть начальных условий для дифференциального уравнения

- определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

- какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков метод их решения

- метод решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Приложение

Задание 1.

Вариант 1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 7

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 8                          

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

 

Вариант 9

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

 

Вариант 10

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

 

Задание 2. Найти общее решение уранения

 

Номер варианта	Дифференциальное уравнение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.