Способы Задания функции

1 2

ТЕМА «ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА И ГРАФИКИ»

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка

1. Понятие функции. Область определения и область значений функции

2. Способы задания функции

3. Свойства функции

3.1. Четность

3.2. Периодичность

3.3. Нули функции

3.4. Монотонность

3.5. Знакопостоянство

4. Контрольные вопросы и задания

Заключение

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая тетрадь составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом дисциплины. Тетрадь посвящена одной из центральных тем курса алгебры и начал анализа «Функции, свойства, графики», в ней вводятся и закрепляются важнейшие теоретические понятия, без которых невозможно дальнейшее изучение этого курса.

Использование рабочей тетради значительно облегчит работу преподавателей, позволит выполнять больший объем работы на каждом занятии, повысит качество знаний и результат обучения. Задания составлены по темам в виде практических занятий. Рабочая тетрадь предназначена для обучения на всех специальностях начального, среднего и высшего профессионального образования.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

þ Функцией называется зависимость одной переменной от другой, где каждому значению независимой переменной (х) соответствует только одно значение зависимой (у).

х₁

х₂

х₃

у₁

у₂

Обозначение функции: у = f(х), где х – аргумент, у – значение функции.

þ Множество всех значений независимой переменной (Х) называется областью определения функции; обозначается D(у).

þ Множество значений зависимой переменной (У) называется областью значений функции; обозначается Е(у).

Пример 1. у = х + 2

D(у): хÎ (-∞; +∞), т.е. х – любое число.

Е(у): уÎ (-∞; +∞).

Пример 2. у =

D(у): х≠0, т.е. хÎ(-∞; 0)È(0; +∞).

Е(у): у≠0, т.е. уÎ(-∞; 0)È(0; +∞).

Пример 3. у =

D(у): х+2 ≥ 0, х ≥ -2, т.е. хÎ [-2; +∞).

Е(у): уÎ [0; +∞).

! Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите область определения функции у = 8 -

2. Найдите область значений функции у = -х² + 5х

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

а) описанием (словесный способ).

Утром температура воздуха была +4^о,днем похолодало до +2^о, а вечером опустилась до -2^о. Этот пример показывает зависимость между временем суток и температурой воздуха.

б) табличный.

х	Утро	День	Вечер
у	+4^о	+2^о	-2^о

в) графический.

þ Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; y), такими, что абсцисса x принимает все значения из области определения, а ордината y равна значению функции в точке x.

г) формулой (аналитический).

Пример 1. у = 3х + 1

Пример 2. у = 2х²- 2

! Задания для самостоятельной работы.

1. Дана функция. Заполните таблицу:

а) у = 3х + 1

х	1		0
у		-2		5

б) у = 2х²- 2

х	0	1	10
у				2

2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 120 Нм? Ответ дайте в километрах в час.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

ЧЕТНОСТЬ

þ Функция f (x) называется четной, если для любого x из ее области определения -x также принадлежит области определения, причем
f (-x) = f (x).

Свойство: график четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Пример. у = х²

þ Функция f (x) называется нечетной, если для любого x из ее области определения -x также принадлежит области определения, причем
f (-x) = - f (x).

Свойство: график нечетной функции симметричен относительно начала координат (поворот на 180^о вокруг точки (0;0)).

Пример. у = х³

! Задания для самостоятельной работы.

1. Что можно сказать о функции:

1) у = х⁴ – х² +1;

2) у = х – 2sinх;

3) у = 3 cos х + х

а) четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная?

2. Приведите пример четной функции, нечетной функции

Периодичность

þ Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x, принадлежащего области определения функции, x - T, x + T также принадлежат области определения и ее значения в точках x, x - T, x + T равны, т.е. выполняется равенство f(x) = f(x-Т)= f(x+Т).

Пример. 1) у = sinх – периодическая с периодом Т = 2p,

2) у = tg x - периодическая с периодом Т = p,

3) у = х – 2 - непериодическая.

! Задания для самостоятельной работы

1. Что можно сказать о функции

а) периодическая; б) непериодическая?

1) у = 3cos(x+ p) 2) у = х – 2sin х

2. Приведите пример непериодической функции:

_____________________________________________________

Нули функции

В этом пункте рассматривается нахождение точек пересечения графика с осями координат.

1.Условие нахождения точек пересечения с осью ОХ: у = 0.

2. Условие нахождения точки пересечения с осью ОУ: х = 0.

Пример. у = 2х + 4.

у = 0, 2х + 4 = 0, х = -2.

(-2; 0) – точка пересечения с осью ОХ.

х = 0, у = 2×0 + 4 = 4.

(0; 4) – точка пересечения с осью ОУ.

! Задания для самостоятельной работы.

1.Найдите нули функции

1) у = - х² + 5х – 9;

2) у = ;

3) у = ;

МОНОТОННОСТЬ

þ Функция f (x)называется монотонно возрастающей на некотором интервале, если для любых значений x ₁ и x ₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x ₂ > x ₁, выполнено неравенство f (x ₂) > f (x ₁).

Пример. у = х

þ Функция f (x)называется монотонно убывающей на некотором интервале, если для любых значений x ₁ и x ₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x ₂ > x ₁, выполнено неравенство f (x ₂) < f (x ₁).