Невозможность аксиоматизации логики

1. Наука может быть аксиоматизирована и формализована, т.е. в ее основу, в качестве начала доказательства, могут быть положены аксиомы только в том случае, если она наука частная, специальная, а не философская; аксиомы — положения недоказываемые, а на недоказываемое в своих пределах (например на философские категории) может опираться только частная наука; недоказанные положения не могут быть признаны началом философской науки, так как в таком случае понадобилась бы новая философия и т. д. до бесконечности. Поэтому аксиоматический метод может быть только одним из частно-научных методов, но никак не общелогическим. В логике ничего нельзя оставлять недоказанным, в противном случае понадобилась бы другая — новая логика[284]. Там, где наряду с доказанным, есть и недоказанное, мы имеем дело с частным, односторонним, а не общим.

2. Смысл доказательства заключается в оправдании чего-нибудь; это оправдание осуществляется завершением доказательства в его конце и в самом процессе. Поэтому попытка помещения логической истины перед доказательством противоречит самому ее смыслу. «Истина лежит не в начале, а в конце, вернее в продолжении»[285]. Поэтому нельзя ставить аксиомы, как неоспоримые истины, перед доказательством. Любая истина, и в частности логическая, дана не в начале, а в «продолжении» — в самом доказательстве.

3. Смысл аксиоматического метода заключается в перенесении вперед того, что дано в последующем — в продолжении или конце, в перемещении начала доказательства, как его сущности. Если переместить вперед сущность доказательства, то само доказательство станет излишним. Если то, что должно быть получено в конце, мы перенесем вперед, то тем самым подлежащее доказательству мы представим как основу доказательства, как доказывающее. Ясно, что такое перевертывание доказательства будет только ошибкой.

4. Аксиомы, как непосредственно положительные, не могут быть предшествующим доказательству его общим смыслом и потому, что:

 

1) Общее есть то, что высказывается о различных, оно есть единое для различных; это различие необходимо для общего, но оно нарушает непосредственность, вносит в него опосредствование. Общее, как единство различных, не может быть непосредственным или интуитивным и наоборот.

2) Такая положительность — положительность суждения, поэтому она, как мы уже знаем, с необходимостью содержит различенность; а различенность снимает чистую положительность — непосредственность или интуитивность.

5. Непосредственное-недоказанное не может оправдать доказанного, доказуемого, доказательства, так как а) это было бы сведением доказательства к недоказанному, т.е. упразднением доказательства; б) недоказанное не может дать смысл доказательству, не может быть его началом; сущность доказательства не может быть недоказанной; в) сведение доказательства к недоказанному, как именно сведение, само есть определенное доказательство, которое охватит непосредственное, т.е. упразднит его; в доказательство войдет все, ничего не останется за его пределами: г) связь недоказанного и доказательства будет неразрешимым противоречием, логической ошибкой; д) если это противоречие имеет основание, то оно разрешится; а это разрешение будет доказательством, в которое попадет и непосредственное начало, т.е. последнее опосредствуется, докажется, потеряет непосредственность. Таким образом, начало доказательства не может быть непосредственным — ни интуицией, ни логически непосредственным.

6. Начало доказательства не может быть только непосредственным, так как это означало бы отрыв непосредственного от опосредствованного, что вообще невозможно и недопустимо в логике, поскольку доказательство есть именно единство непосредственности и опосредствования. Отрыв непосредственного от опосредствованного и лежит в основе аксиоматизации логики; аксиомы только непосредственны. Но непосредственное и опосредствованное в отрыве друг от друга теряют смысл; они относительные понятия и имеют смысл только в единстве. Диалектика непосредственности и опосредствованности разрешает проблему начала доказательства. Недиалектическое понимание их связи делает разрешение проблемы невозможным. Начало доказательства не может быть не опосредствованным, так как оно есть именно начало доказательства, оно опосредствованно тем, началом чего является. Иначе и не может быть.

7. Начало доказательства не может быть только общим, так как общее уже опосредствовано частным. Это начало не может быть и только частным, поскольку частное есть частное общего, опосредствовано общим. Начало доказательства не может быть ни только частным, ни только общим, оно должно быть их единством; точнее, доказательство должно быть единством частного и общего, а начало доказательства будет началом этого единства.

8. Аксиома была признана началом доказательства для приостановления регресса в бесконечность, была введена вследствие этого регресса. Поэтому аксиома заранее подразумевает этот регресс, определяется им. Но то, что определяется другим, не может быть началом. Такова и аксиома, определяемая опасностью бесконечного регресса. Аксиома не в силах приостановить регресс в доказательстве, наоборот, она «создает» его, поскольку с необходимостью его подразумевает.

В математической логике для применения аксиом необходимы метаправила, использование которых требует новых метаправил и т. д.

9. Как было отмечено выше, аксиомами могут быть только некоторые положения, т.е. необходим их выбор; но этот выбор уже есть доказательство. Установление того, что аксиомой может быть это, а не другое положение, и есть ее доказательство. Но этим аксиоматичность выбранного положения устраняется, так как оно подчиняется выбору, т.е. вторично, а не первично.

10. Выбор предполагает основание, опираясь на которое признают аксиомой то или иное положение; использование же основания как раз и называется обоснованием, доказательством. Следовательно, аксиома выступает как следствие, а не начало доказательства.

11. Конвенционализм — признание основой выбора аксиом соглашения — ошибочен, так как: а) соглашение предполагает определенное основание (основание в категориальном смысле), которое первично по отношению к выбору и на которое опирается аксиома, признанная таковой по «соглашению»; а это упраздняет аксиому; б) если соглашение абсолютно, то понадобится соглашение о соглашении, что создаст круг и регресс в бесконечность; в) аксиома определяется соглашением, как некоторым основанием, постольку она теряет первичность; аксиома становится опосредственной, а должна быть именно непосредственной; г) соглашением предполагается предмет соглашения, то, о чем мы должны согласиться; первое определяется вторым; постольку соглашение не свободно, в этом отношении оно теряет смысл; следствием определяется то, что должно предшествовать ему и определять его; д) если аксиома есть то, с чем нельзя не согласиться, то здесь действует необходимость, причем безусловная; а это упраздняет соглашение, которое должно быть свободным; е) если здесь нет необходимости, то аксиома произвольна, т.е. нет нужды в соглашении: а произвольность создает хаос, который упраздняет, а не обосновывает доказательство; для доказательства важна именно необходимость. «Принцип терпимости» не может быть принципом. Беспринципность упраздняет принцип и не может сама быть принципом.

12. Аксиома есть положение с определенным содержанием, поэтому возможно и противоречащее ей; как у недоказанных, у них одинаковые «права» считаться аксиомами, а если аксиомами могут быть противоречащие положения, то а) или невозможно доказательство, поскольку противоречащие упраздняют друг друга, б) или нет объективной опоры доказательства, тогда как без объективности нет и доказательства; в) или же возникает состояние, требующее доказательства, охватывающего и аксиомы, а этим упраздняется их аксиоматичность, так как разрешение противоречия есть осуществление доказательства.

13. Множество и разнообразие аксиом требует единства согласно понятию аксиомы, которое может быть только одно; этого требует тавтологичность аксиом и соблюдение тавтологических — аналитических принципов в логике. Чистая аналитичность и тавтологичность снимает разнообразие, а разнообразие требует синтетичности. Таким образом, разнообразие аксиом требует разрешения проблемы единства аналитичности и синтетичности, что может осуществиться только путем доказательства. Таким образом, разнообразие аксиом создает состояние, нуждающееся в доказательстве, что, ясно, не может быть началом доказательства.

14. Как известно, в математической логике выбор аксиом осуществляется с соблюдением определенных условий; аксиомы должны удовлетворять условиям — непротиворечивости, независимости и полноты; а это ставит аксиомы в состояние, нуждающееся в доказательстве, для которого, вероятно, будут нужны еще аксиомы или же оправдание такого состояния снимает аксиомы, поскольку оно их оправдывает — доказывает.

15. Как известно, какая-нибудь математическая логика (точнее, ее часть, поскольку не удалось аксиоматизировать всю логику) есть определенная система, исходной точкой которой являются аксиомы, из которых вывод теорем невозможен без применения других аксиом или металогических правил. Если для вывода из аксиом нужны другие аксиомы, то для применения этих аксиом нужны будут еще новые аксиомы и т. д. до бесконечности.

16. Отмеченное указывает на то, что логика теряет смысл из-за аксиоматического метода, поскольку он вызывает вынос логик из логики, разложение единства логики, делает необходимой мета- и метаметалогики, Логика возможна и должна быть только одна. Логика не оправдывает сама себя, если для нее нужна другая логика. Для существования логики, ясно, не нужен логический выход из логики, наоборот, что разрушит ее.

17. В математической логике законы логики доказывают исходя из аксиом, тогда как вывод из аксиом сам есть доказательство, опирающееся на логические законы (напр., непротиворечивости). В логике необходимо применение законов и категорий, аксиоматизация которых, как известно, невозможна. Это означает то, что единство логики требует ее неаксиоматического обоснования и оправдания логической рефлексивности. Рефлексивность категорий логического исключает надобность и возможность аксиоматизации логики.

18. В математической логике вывод из аксиом и вообще умозаключения обосновываются способом подстановки и схемой умозаключения, но: 1) способ подстановки есть механический способ, полезный в математике, но ошибочный в логике, так как подстановка частного на место общего есть не логическое отношение общего и частного, а заранее подразумевает его; 2) использование схемы или правила умозаключения (modus ponens) как его посылки допустимо в математической логике, оправдано в ней, как в математике, но не в логике, так как между правилом умозаключения, как посылкой, и умозаключением вновь возникнет отношение умозаключения, которому должно предшествовать новое правило и т. д.; вместе с тем, считать, что умозаключению должно предшествовать его правило, как его смысл, значит признавать умозаключение до умозаключения, что, разумеется, нелепо.

19. Назначение аксиомы (аксиом) не что иное, как оправдание доказательства; но это оправдание и есть доказательство. Таким образом, здесь имеет место ошибка доказательства доказательства, на которую впервые указал Аристотель. Доказательство доказательства потребует еще нового доказательства и т. д. до бесконечности. А ведь применением аксиом пытались именно избежать ошибки доказательства доказательства. Говорят, что раз доказательство доказательства невозможно, то доказательство должно опираться на недоказанное, но так как это «опирание» само есть доказательство, то именно из-за этого получается ошибка доказательства доказательства. Это значит, что устранение ошибки доказательства доказательства невозможно опиранием доказательства на недоказанное, нужен другой путь.

Если начало доказательства есть аксиома и доказательство есть переход от нее к другому, то она окажется в сфере доказательства, т.е. аксиома, как недоказанное положение, упразднится именно посредством доказательства. Утверждение необходимости аксиом для логики не может само опираться на аксиомы.

20. Если для доказательства аксиома необходима, то эта необходимость должна быть, разумеется, логической и аксиома должна подчиняться ей. Наличие необходимости чего-либо есть его доказательство. Таким образом, аксиома как недоказанное положение снимается.

21. Поскольку различные системы требуют различных аксиом, постольку характер этих систем, их содержание и определяет аксиомы. Аксиомы проверяются именно тем, создают они противоречие в системе или нет. Это значит, что аксиомы сами оправдываются содержанием системы. Аксиому определяет, опосредствует то, аксиомой чего она является; а логически определенное и опосредствованное, как мы знаем, является уже доказанным. Таким образом, аксиомы, как недоказанные положения, снимаются. Сама аксиома, как положение, как определенное суждение имеет природу доказательства, т.е. утверждения-отрицания.

22. Аксиоматизируя и формализируя логику, все логическое содержание доказательства помещают в аксиомы; например, для Лукасевича аксиомы логики Аристотеля есть модусы первой фигуры категорического силлогизма, выяснение природы которых остается за пределами так аксиоматизированной логики. Так же, если согласиться, что положение невозможности противоречия представляет собой для Аристотеля аксиому доказательства, так как оно есть его сущность (невозможность одновременного утверждения-отрицания), то аксиомой признается то, что из себя по существу представляет доказательство. Аксиоматизация логики доказанное и подлежащее доказательству подразумевает заранее без всякого доказательства. А это не что иное, как игнорирование доказательства.

23. Для доказательства необходима положительность начала. Своеобразие этой необходимости заключается в том, что отрицание положительного начала невозможно, поскольку отрицание применяется именно в отношении положительного; заранее подразумевает его; отрицание необходимой для доказательства исходной положительности само применяет ее как средство-основание. Без такой объективной положительности доказательство невозможно. Поэтому точки зрения, отрицающие объективность доказательства, ошибочны. Такова, например, позитивистская точка зрения. Что начало доказательства подразумевает что-то самодовлеющее, это свидетельствуется и тем, что аксиомы называют само собой очевидными положениями.

24. Аксиома есть очевидное положение, но это не должно быть психологической очевидностью. Очевидность начала доказательства должна быть только логической. Логически неочевидное подлежит доказательству. Логическая очевидность есть только очевидность доказательства, заключается в нем; если аксиома логически очевидна, то она доказана, т.е. не есть аксиома. Таким образом, аксиома снимается и тогда, когда она логически неочевидна, поскольку, в таком случае, подлежит доказательству, и тогда, когда она логически очевидна, поскольку, в таком случае, доказана.

25. Начало доказательства может быть объективным, необходимым средством — основанием для доказательства. Средство доказательства, разумеется, включено в доказательство. Если такое средство будет представлено как аксиома, то она, как недоказанная, снимается. Первое средство доказательства, ясно, будет на первом месте в доказательстве, хотя оно применяется во всем доказательстве как средство, поскольку оно есть первое для него, находится на первом месте. Доказательство чего-либо есть, как мы знаем, установление его места в системе доказательства. Установление первого места тоже есть доказательство. Выяснение того, что начало доказательства есть это, а не иное, и что оно занимает именно первое место, есть доказательство этого начала. Если начало доказательства непосредственно, то оно, как именно начало, уже доказывается, поскольку начинать — значит опосредствовать.

26. Если начало доказательства опосредствуется, определяется, доказывается тем, что с него начинается доказательство, и если это начало определяется, опосредствуется тем, началом чего оно является, то имеет место оправдание основания следствием: но поскольку следствие определено основанием, постольку здесь должно быть взаимоопределение, в котором и следствие и основание внутренни. К аксиомам обращаются тогда, когда доказательство понимается как оправдание внешним основанием. Но если существует внутреннее основание, тогда снимается надобность аксиомы, как начала. Начало доказательства, как первое, доказывается последующим, если это последующее объясняет его. Трудность начала доказательства, как недоказанного, разрешается и возможностью перехода следствия в основание, например, абстрактного общего, как содержательного частного, в содержательное общее, как в объясняющее его конкретное. Таковы все вышерассмотренные основные переходы, начиная с суждения и кончая бесконечным умозаключением.

27. Вышесказанное делает очевидным, что начало доказательства должно быть рефлексивным, мыслью, имеющей внутреннее основание и такое-же следствие. Оно должно быть логическим causa sui. Это свидетельствуется и тем, что отрицание доказательства невозможно, так как это отрицание само есть применение доказательства и его своеобразное осуществление. Древние скептики упраздняли свои же положения, когда пытались доказать, что доказательства не существует.

Следовательно, начало доказательства должно быть доказано и, вместе с тем, оно должно быть и вообще началом доказательства. Но что может быть таковым? Вопрос требует ответа.

 

§ 231. Единство логической непосредственности и опосредствования
 как начало доказательства

Если аксиомы, как непосредственные положения, не могут быть исходными, то надо сказать, что непосредственное не есть исходное и исходное не есть непосредственное. Но исходное, как первое, которому ничего не предшествует, т.е. которое не есть последующее и следствие, должно быть непосредственным; первое должно быть непосредственным. Аксиомы не только исходные положения доказательства, но и его начало; начало, как первое, не может не быть непосредственным. Но и об опосредствованном можно сказать, что оно не есть ни исходное, ни начало, поскольку каждое опосредствованное есть последующее и следствие, ему предшествует другое, оно определяется другим; опосредствованным называется то, что определяется именно другим. Но, с другой стороны, исходное положение или начало должно быть опосредствованным; ибо первое доказательство не может быть недоказанным, т.е. непосредственным; начало доказательства должно быть логическим, которое всегда опосредствовано и представляет опосредствование. Непосредственность есть упразднение доказательства, доказательством называется именно опосредствование. Таким образом, получается, на первый взгляд, безвыходное, непреодолимое противоречие: началом доказательства не является ни опосредствованное, ни непосредственное и оно должно быть как опосредствованным, так и непосредственным.

Но как это выяснится ниже, мы должны отличать друг от друга исходное положение и начало доказательства. Здесь речь идет только о начале доказательства, как его сущности, которая заключается, в опосредствовании; а опосредствовать можно то, что неопосредствованно; с другой стороны, непосредственное есть или одна сторона опосредствования или же оно есть опосредствование, как тождественное по отношению к себе одно, «вот это». Мы выяснили и то, что нет только непосредственного также, как нет опосредствования без непосредственного. Их единство необходимо, они теряют смысл друг без друга. Поэтому начало доказательства, как его сущность, должно быть не только непосредственным или только опосредствованным, но необходимым единством непосредственности и опосредствования.

Как мы знаем, тождество нечто с самим собой является непосредственным, таково и начало доказательства, оно непосредственно, ему присуща непосредственность, оно не исключает непосредственности. Но доказательство заключается в опосредствовании, в необходимой опосредствованности. Поэтому начало доказательства есть единство непосредственного и опосредствования. Но это создает новую трудность. Единство непосредственности и опосредствования есть все доказательство, а не его начало. Поэтому надо сказать, что начало доказательства должно быть единством непосредственности и опосредствованности, как первое по отношению к всему доказательству. Оно должно быть первым, если можно так выразиться, простым видом единства непосредственности и опосредствования. Начало доказательства есть первое для доказательства, ему ничто не предшествует, оно не определяется и не опосредствуется другим, постольку оно непосредственно; но оно опосредствовано в самом себе; оно должно быть доказано и опосредствовано самим собой, поскольку, как мы знаем, первое для доказательства необходимо должно быть доказано, оно не может быть недоказанным. Сущность доказательства должна, разумеется, иметь природу доказательства.

С точки зрения Аристотеля, разум непосредственно постигает начала доказательства, правда, опираясь на индукцию, но все-таки непосредственно; разум непосредственно постигает начала[286]; т.е. постижение начал осуществляется в интеллектуальной интуиции. Это положение не должно быть правильным вследствие следующих обстоятельств: 1) Интуиция не есть логическое состояние, поэтому ее надо исключить из логики. 2) Поскольку начало доказательства не может быть недоказанным, должно быть доказано, постольку его постижение должно осуществляться логическим путем — путем доказательства и только этим путем. Можно сказать и то, что психологический путь постижения начал доказательства есть интуиция, но логический путь должен быть только путем доказательства. В логике нет места психологическому пути.

Если начало доказательства есть положение о невозможности противоречия, как «самое необходимое» начало, как это считал Аристотель, то надо сказать, что такое непосредственное опосредствовано другим; невозможность противоречия, как мы знаем, — противоречием, а это последнее — единством. Невозможность противоречия подчиняется единству противоречия, поскольку она представляет его один момент. Правда, положение о невозможности противоречия первично в том смысле, что попытка его доказательства вынуждена применить его же как средство, но таковы же, как мы знаем, и все категории логического.

Если признать за начало доказательства определение, его простую положительность, как это думал Аристотель, то надо сказать и то, как это было выяснено выше, что положительность определения не есть только непосредственная, чистая простота; определение есть суждение, поэтому оно имеет природу доказательства, т.е. оно не только непосредственно, а есть определенное единство непосредственности и опосредствования.

Таким образом, доказательство есть единство непосредственности и опосредствования, а его начало есть первое опосредствование, сущность опосредствования, сущность опосредствованности и непосредственности в ее простом (относительно простом) виде (об этом ниже).

Первое в доказательстве, как это было выяснено выше, есть то, отрицание чего невозможно и отрицание чего применяет его же, как основание-средство, в этом смысле оно утверждается его же отрицанием. Что должно быть первым? Мы на этот вопрос ответим прямо в дальнейшем. Здесь же надо отметить, что опосредствование есть определенное единство, поэтому оно есть содержательное общее, а непосредственность есть его сторона, его односторонность, т.е. оно есть содержательное частное, поэтому единство непосредственного и опосредствованного существует в виде единства частного и общего. Начало доказательства, как единство непосредственности и опосредствования, есть то же самое, что и единство частного и общего.