О чертах начала доказательства

Мы еще не знаем, что из себя представляет начало доказательства, поэтому, как будто, невозможен разговор о его чертах. Если бы мы знали, что такое начало доказательства, то его анализ дал бы и его черты. Однако выяснять его черты, уже имея понятие начала доказательства, излишне. Поэтому, с нашей точки зрения, для установления понятия начала сперва надо рассмотреть черты, необходимые для него; надо выяснить, какими должны быть эти черты, какие признаки должны удовлетворять этому понятию начала. Если мы знаем, какие черты должны характеризовать понятие начала доказательства, а какие нет, тогда, ясно, мы можем дойти до этого понятия и установить его. С нашей точки зрения, начало доказательства должно иметь следующие черты:

1. Начало доказательства должно быть положительным, поскольку оно не может быть отрицательным. Отрицание есть отрицание нечто, именно, отрицание того, что для отрицания является положительным; отрицаемое есть нечто положительное. Если отрицается само отрицание, то оно имеет какой-то положительный смысл для отрицания. Отрицается то, отрицание чего возможно; можно отрицать только то, что есть, или то, что признается положительностью. Положительность предшествует отрицанию, поэтому начало доказательства не может не быть положительным. Доказательство есть всегда доказательство чего-нибудь, осуществляемое на основании чего-то. Невозможно доказательство отрицательного без положительного, отрицательное имеет смысл в силу понятия положительного[270]. То, посредством чего доказывают, более достоверно, чем то, что доказывают[271], говорил еще Аристотель. Первое средство-основание-доказательства должно быть чем-то положительным, первой необходимостью для доказательства. Поэтому началом доказательства, вопреки Аристотелю, не может быть положение о невозможности противоречия, так как оно имеет отрицательный характер; оно указывает только на то, что невозможно.

2. Начало доказательства должно быть положительным, но если оно только положительно и имеет природу чистой положительности, то оно должно быть простым. Но надо рассмотреть, может ли начало доказательства быть простым. Здесь мы будем говорить о простоте определения, как начала доказательства.

Природа доказательства заключается в утверждении-отрицании; доказательство осуществляется посредством суждений. Утверждение-отрицание есть логическая сложность (как это понимал Аристотель); сложное заранее подразумевает простое, поэтому начало доказательства должно быть простым. Здесь идет речь о простоте определения, так как: утверждение-отрицание заранее подразумевает предмет. Если принцип доказательства есть положение «если есть А, то есть В» (как отношение основания-следствия), то ответ на вопрос «что такое А», есть определение, а не доказательство. Доказательство, как было сказано, осуществляют суждения, а определение является простым, поэтому оно предшествует доказательству. Определение не есть доказательство. Для определения характерна обратимость, а для доказательства нет. Если бы определение было доказательством, то обращение в доказательстве не доказало бы ничего. Определение не имеет природы суждения. Если бы суждение было определением, тогда, с точки зрения Аристотеля, доказательство, вследствие обратимости и простоты, было бы невозможным[272]. Определение имеет природу простой положительности, поэтому оно аналитично, тогда как суждение и доказательство имеют природу логической сложности (утверждения-отрицания), т.е. они синтетичны. Если бы суждение, например заключение, было определением, тогда, по Аристотелю, были бы обратимыми и посылки, среднее понятие заранее подразумевало бы то, что должно быть доказано, и поэтому доказательство было бы невозможным[273]. Известное реальное определение, думал Аристотель, полагает понятие, которое в умозаключении выполняет роль среднего термина (такое умозаключение есть доказательство); такое среднее не доказывается, оно есть недоказуемая «причина»[274].

Признание такой простоты начала доказательства не должно быть правильным. Определение обратимо. Если это так, то оно подразумевает и различие. Обращение невозможно без различия. Если определяемое и определяющее не отличаются друг от друга, то обратимость теряет смысл. Простота есть пустота. Если определение является простым, если его содержание есть простая положительность, то оно не имеет содержания, оно есть пустая отрицательность; на деле же определение должно полагать именно содержание, содержание понятия. Определение, полагающее содержание понятия, не может быть простым, оно не может не быть суждением, положительностью, содержащей различие. Определение содержит не только различие, но и противоположность, поскольку оно есть полагание ближайшего рода и специфического различия, т.е. единства общего и частного.

Поэтому ошибочен вынос начала доказательства за доказательство; начало доказательства должно иметь природу доказательства; оно не должно быть мистической положительностью (у Аристотеля простая положительность определения есть то же самое, что и мистическая простота «усии»). Начало доказательства не является простым. Оно есть сущность доказательства и, ясно, должно иметь природу доказательства. Вынос начала доказательства за доказательство вызывает бесконечный регресс.

3. Из сказанного непосредственно вытекает, что начало доказательства должно быть положительностью, содержащей внутреннее отрицание. Если начало доказательства не может быть ни только отрицательностью, ни чистой положительностью и если полагание нечто, как начало, должно иметь содержание, т.е. внутреннее различие, то, ясно, что оно должно быть положительностью, содержащей отрицание, где моменты положительности и отрицательности будут иметь только относительную природу. Если положительность и отрицательность берутся в абсолютном значении, то они упраздняют друг друга и начало доказательства, так же как и само доказательство, будет невозможным. Открытое Платоном понятие относительного отрицания (рассмотренное в диалоге «Софист») Аристотель не понял, вследствие чего он свернул с пути диалектики как вообще, так и в логике.

Если положительность содержит отрицание, то она синтетична. Начало доказательства должно быть синтетичным. Единство положительности и отрицательности, как мы уже знаем, есть больше чем суждение, оно опосредствованная связь и, в этом смысле, умозаключение. Следовательно, начало доказательства должно иметь характер умозаключения: начало доказательства не может не иметь природу доказательства; единство положительности и отрицательности представляет собой сущность доказательства.

4. Поскольку начало доказательства есть положительность, содержащая отрицание, постольку и вследствие этого оно должно иметь природу общего и именно содержательного общего.

Еще Аристотель говорил, что на основании общего мы знаем и «это» и «другое», эти два есть частные, основанием которых должно быть общее. Общее есть единство «этого» и «другого». Аристотель говорил и то, что верхний предел, доказательства есть категории[275]. Если «это» и «другое» возвышаются до категориальной мысли и мы их рассматриваем как элементы доказательства, тогда «это» и «другое» будет утверждением и отрицанием, а общее будет их единством. Это будет содержательное общее, которая высказывает и природу единичного; поэтому если определение высказывает природу единичного (согласно утверждению Аристотеля), то эта природа не проста, а является содержательным общим (ведь и по Аристотелю общее представляет собой природу единичного).

Начало доказательства, как единой системы, не может не быть общим и в том смысле, что оно есть сущность доказательства, общая и существенная для всех форм мысли и их логической связи: а общее и существенное есть определенное «существенное общее».

Аристотель отмечал, что среднее понятие есть общее для крайних[276]. Эта общность, ясно, не может иметь объемного характера (таково не среднее, а именно большее понятие силлогизма). Это определенное единство различных, именно, единство единичного (меньшего) понятия и общего (большего) понятия.

Следовательно, начало доказательства должно иметь характер содержательного общего.

5. Начало доказательства, как общее для него, ясно, должно быть одно; доказательство должно иметь одно начало.

С точки зрения Аристотеля, есть много доказательств, поскольку (прежде всего) существуют такие умозаключения, средние понятия которых установлены дефиницией (т.е. высказывают сущность предмета) и поэтому представляют собой доказательства. Поэтому и существуют общие начала, несколько наиобщих начал, из которых «более всех необходимо» положение о невозможности противоречия[277]. Следовательно, наиобщее начало только одно. Для Аристотеля наиобщее начало доказательства есть положение о невозможности противоречия, видимо потому, что это положение выражает сущность доказательства; сущность доказательства для Аристотеля заключается в невозможности одновременного утверждения и отрицания (в невозможности утверждения и отрицания одного и того же об одном и том же). Доказательство, разумеется, должно иметь одну сущность. Начало доказательства, как его сущность, одно. Аристотель думал, что доказательство, исходящее из меньших постулатов и посылок, есть лучшее[278]; если это так, то полное доказательство должно иметь одно полное начало.

С точки зрения современной математической логики, есть множество начал доказательства; любая система имеет много аксиом; к этому добавляются и металогические правила. Но каждая из этих аксиом есть тавтологическое положение. И именно тавтологичность всех аксиом и само понятие аксиомы (которое может быть только одно) требуют одного начала; одно начало необходимо.

Признание множества начал доказательства есть измена логике (что вызвано излишним эмпиризмом у Аристотеля и в математической логике), поскольку множество начал имеет смысл благодаря одному началу; иначе и не может быть.

Поскольку положение о невозможности противоречия имеет отрицательный характер, постольку, как это было несколько раз отмечено выше, ему должно предшествовать нечто положительное. Мы знаем, что невозможности противоречия предшествует противоречие, а противоречию — единство.

Мы знаем, что в логическом наиобщей является категория. Поэтому начало доказательства должно иметь черту категориальности. Аристотель не смог найти наиобщее, так как он не выяснил природу связи категорий (хотя и определил категории как верхний предел доказательства, как то, что высказывается о другом, но о чем другое не высказывается. Нижним же пределом доказательства он счел сущность единичкой вещи, т.е. то, о чем высказывается другое, но само не может быть высказано о другом; хотя такой первый субъект для Аристотеля и представляет собой именно первую категорию)[279].

Невозможности одновременного утверждения и отрицания должна предшествовать единая мысль, лежащая в основе утверждения и отрицания, которая и должна быть началом доказательства.

6. Для доказательства необходимо начало; но необходимость для доказательства его начала должна отличаться от необходимости, осуществляемой в формально-логическом доказательстве. Это не означает отсутствия первой необходимости, но указывает на то, что она должна быть своеобразной, именно, необходимостью своеобразного доказательства.

Начало доказательства, как именно таковое, определяется природой доказательства; каково доказательство, таково и его начало. Поэтому-то и ищут для различных систем различные начала (аксиомы); у каждой системы (геометрической, формально-логической или математико-логической) имеются свои аксиомы.

Необходимость, осуществленная в доказательстве, отличается от необходимости начала для доказательства, но и эта последняя должна представлять собой логическую необходимость. Необходимость для доказательства его начала должна быть своеобразной логической необходимостью, так как если необходимость, осуществленная в доказательстве, понималась (и понимается) как необходимость получения следствия из основания, необходимость для доказательства его начала будет и должна быть необходимостью основания для следствия, она должна быть своеобразным положительно-регрессивным умозаключением.

Начало доказательства должно быть тем, что из себя представляет внутренняя мысль доказательства (еще Аристотель говорил, что силлогистичность характерна для внутреннего смысла, а не внешнего выражения)[280], поэтому оно должно иметь природу доказательства, т.е. представлять собой своеобразную логическую необходимость. Демонстрация логической необходимости чего-либо есть не что иное, как его доказательство. Поэтому необходимость для доказательства его начала осуществляется в своеобразном доказательстве. Это обстоятельство представляет трудность, именно следующую: если необходимость для доказательства его начала есть тоже доказательство, то для этого доказательства потребуется другое начало и т. д. до бесконечности. Доказательство осуществляется на основании начала, поэтому, на первый взгляд, доказательство начала доказательства должно быть невозможным. Мы ограничимся указанием на то, что начало доказательства должно быть определенным основанием и средством, которое применяется доказательством, но может не быть доказано в этом доказательстве; но верно и то, что выявление необходимости начала доказательства, как его основания и средства, не может не быть своеобразным доказательством.

Для доказательства начало необходимо, без начала оно не есть доказательство, поэтому отрицание этого начала должно быть невозможным. Это значит, что невозможность отрицания начала свидетельствует об его необходимости. Отрицание начала доказательства невозможно, так как это отрицание само должно подчиняться началу доказательства, поскольку отрицание представляет собой один момент доказательства; доказательство осуществляется посредством утверждения-отрицания; началом доказательства должно быть то, отрицание чего невозможно, то основание-средство, применение которого и называется доказательством. Попытка отрицания начала доказательства, как его необходимого средства, сама применяет и, в этом смысле, утверждает его. Здесь осуществляется необходимость начала доказательства, т.е. оно доказывается. Если это так, то можно доказать все, в том числе и его начало, но так, что в доказательстве не будет опасности регресса.

Таким образом, необходимость начала доказательства своеобразна и представляет собой своеобразное доказательство.

7. Из вышесказанного непосредственно вытекает, что начало доказательства должно быть таким средством-основанием, которое применяется для доказательства всего, в том числе и его самого, т.е. оно должно быть самооснованием. И в самом деле, демонстрация того, что начало доказательства должно быть таким, а не другим, уже есть его доказательство. И начало этого доказательства должно быть тем же началом, что и начало другого доказательства. Это значит, что начало доказательства имеет общую природу — распространяется как на других, так и на себя — такой общностью в доказательстве может быть только самооснование.

Когда аксиому считают исходным положением доказательства, т.е. его началом, то утверждают, что для доказательства необходимо недоказанное положение, как его начало; но, как мы это увидим ниже, выявление необходимости аксиомы для доказательства есть уже ее доказательство; а это означает требование для доказательства самооснования, как начала.

Аристотель отмечал, что истинное и первичное есть «то, что необходимо не посредством другого, а посредством самого себя»[281]. Именно поэтому требуют основания логики на том, что обосновывает само себя, дабы логика избежала бесконечного регресса-разрушения. Но таким самооснованием должно быть логическое, а не свободная воля, как это считает Динглер[282], что было бы не обоснованием логики, а ее отрицанием, бегством из логики.

Надо отметить, и то, что начало доказательства, как самооснование, должно быть синтетическим, положительностью, содержащей отрицание, а не тавтологическим положением, так как тавтологичность доказательства или самооснования представляет собой логическую ошибку, поскольку такая тавтологичность есть отождествление доказываемого с доказывающим, что, ясно, означает ошибку.

Если начало доказательства должно быть самооснованием, то: 1) Оно будет логически безусловным. Логически условно то, что имеет внешнее логическое основание; это применение принципа «если—то»; а логически безусловное должно быть логическим causa sui. 2) Это самооснование, точнее, самообоснование будет определенным «доказательством доказательства», но логической истиной, а не ошибкой. Устранение отмеченной Аристотелем трудности «доказательства доказательства»[283], как ошибки, и в самом деле невозможно, если логическое основание понимается как внешнее, если в логическом действует только принцип «если—то» (как отношение основания и следствия, а не как импликация).

Понятно, что начало доказательства, как его логическое средство, не может быть его посылкой, существующей до доказательства, так как в таком случае связь между ним и доказательством была бы новым доказательством, для которого потребовалось бы новое начало и т. д. до бесконечности. Поэтому начало доказательства, как его необходимое средство, должно быть в самом доказательстве, внутри него; оно должно быть внутренним основанием. Вместе с тем, природа этого средства должна определяться тем, средством чего оно является. Начало должно определяться тем, начало чего оно представляет. Само начало должно иметь характер доказательства; иначе и не может быть, если оно есть логическое самооснованиё — логическое causa sui. Но надо выяснить природу этого самооснования. Возможно ли логическое causa sui? He является ли начало доказательства чем-то интуитивным? Нужно дать ответ на этот последний вопрос, а уже потом на остальные.

Считать началом доказательства нечто интуитивное — это то же самое, что признавать таким началом аксиомы, поэтому нужно рассмотреть, правильно ли признание аксиом началом доказательства; с нашей точки зрения аксиоматизация логики невозможна, в сфере логики аксиомы не могут быть началом доказательства.