Ответ. Первому-5, второму- 2

Математические каникулы. 5-6 класс.

День 1. Ссылка https://forms.gle/mQYff1YTUi8GcVcr5

1.Собрались 10 человек: 4 рыцарей и 6 лжецов. Каждый сказал каждому из остальных либо «Ты — лжец!», либо «Ты — рыцарь!». На сколько первых фраз больше, чем вторых?

Ответ. 6.

Решение. Фразу «Ты — рыцарь!» говорят рыцари рыцарям (всего 3*4 = 12 раз) и лжецы лжецам (всего – 6*5 = 30 раз). Фразу «Ты — лжец!» говорят лжецы рыцарям (4*6 = 24 раз) и рыцари лжецам (4*6 = 24 раз). Искомая разность равна (24 + 24) – (30 + 12) = 6.

2.Масса трех бурых медведей на 240 кг больше, чем масса трех тигров и на 80 кг меньше, чем масса четырех тигров. Определи массу тигра.

Ответ. 320.
М - вес медведя, Т - вес тигра
Тогда по условию 3М=3Т+240 и 3М=4Т-80
Приравняем правые части 3Т+240=4Т-80
Уберем 3Т из обеих частей
240=Т-80
Т=320.

3. Из десятизначного числа 5946835207 вычеркнули 5 цифр. Какое наибольшее число могло в результате этого получиться? В ответ запиши число.

Ответ. 98527.

4. Мальчик Вася попал в трудную ситуацию. Мама привезла его на лето в деревню к бабушке, а бабушка умела варить только борщи да каши. Поскольку утонченная натура Васи требовала более изысканных блюд, он нашел в деревне столовую и договорился с ее хозяйкой, что та будет кормить его обедами, денег у Васи не было, но было 7 красивых шкатулок, вложенных одна в другую. Он предложил их в уплату — по шкатулке за один обед, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяйка согласилась, но, будучи в прошлом победителем математических олимпиад, усложнила Васе жизнь, оговорив со своей стороны, что можно открыть только одну шкатулку. Как Васе удалось расплатиться? В ответ распишите алгоритм. Указание. Хозяйка могла дать сдачу его же шкатулками.

Решение.  Вася каждый день открывает по 1 шкатулке и отдает ту, которую открыл.

5. Квадрат со стороной 24 разрезан на 3 прямоугольника с равным периметром. Чему может равняться этот периметр? В ответ запишите одно или несколько чисел через пробел.

Ответ. 60 и 64.

Решение. Квадрат можно разрезать на 3 прямоугольника двумя способами:

 В первом случае все части равны, стороны равны 24 и 24: 3 = 8, периметр части равен 2 *(24+8) = 64.

Во втором случае две нижние части равны, их ширина 24: 2 = 12. Если их длина равна 𝑥, то их периметр 24 + 2𝑥. При этом у верхней части длина равна 24, ширина равна 24 − 𝑥, периметр равен 2 ∙ (24+ 24 − 𝑥) = 96 − 2𝑥. Получаем уравнение 96 − 2𝑥 = 24 + 2𝑥, откуда 𝑥 = 18. Искомый периметр равен (12 + 18)*2 = 60.

6. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок? Дай ответ в граммах.

Ответ. 400.

2500+2400=4900 г весят 7 утят и семь гусят

4900:7=700 г весят утенок и гусенок

700*3=2100 г весят 3 утенка и 3 гусенка

2500-2100=400 весит один гусенок

7. Медведи всегда лгут, ежики всегда говорят правду. В одном лесу живут только медведи и ежики. На поляне собрались трое из них. Первый сказал: «Я здесь один такой зверь». Второй сказал: «Мы все – медведи». Третий промолчал. Сколько медведей собралось на поляне? В ответ запиши число.

Ответ. 2.
Рассмотрим случаи:
1) оба утверждения верны. Тогда все трое медведи. Но этого не может быть, так как медведи лгут
2) оба утверждения ложны. Тогда все ежики. Но тогда ежик солгал, а этого не может быть, так как ежики говорят правду
3) первое утверждение ложь, второе правда. тогда все медведи, и снова этого не может быть, так как медведи лгут.
4) первое утв. верно, второе ложно. Тогда ежик один, медведей 2.

8. Три друга — Альберт, Тимур и Артур — учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Альберт математик, то Артур не физик. Если Тимур не физик, то Альберт математик. Если Артур не математик, то Тимур — химик. Сможете ли вы определить специальности каждого? В ответ запиши имена и специальности каждого.

Ответ. Альберт — химик, Тимур — физик, Артур — математик.

Решение. Предположим, что Тимур не физик, тогда (по условию 2) Альберт математик, но если Альберт математик, то Артур (по условию 1) не физик — получилось явное противоречие. Значит, Тимур — физик. Тогда Артур математик — иначе (по условию 3) Тимур был бы химиком. Значит, Альберт — химик. Итак: Альберт — химик, Тимур — физик, Артур — математик.
9. Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка — в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками а) разделить квас на две части — 3 и 9 л; б) разделить квас на две равные части.

Решение.

Сначала решается задача а), и из нее уже выводится решение задачи б). Решение задачи а) приведено в строках 1-4 таблицы, а решение задачи б) приведено в строках 1-8 таблицы.

 

	12 л	5 л	8 л
1	12	0	0
2	4		8
3	4	5	3
4	9	0	3
5	9	3	0
6	1	3	8
7	1	5	6
8	6	0	6

Шахматист

День 2.

Ссылка https://forms.gle/1YqFtkCfhQuGLBT7

1. Артур взял все двузначные числа, у каждого нашел произведение цифр, потом у каждого такого произведения подсчитал сумму цифр. Какая сумма у Артура самая большая? В ответ запиши число.

Ответ. 13.

Было бы ошибочно утверждать, не проверив, что нам подходит число 99. Произведение 9×9 = 81 и сумма цифр равна всего лишь (8+1) = 9. Опровержение придумать несложно, взяв, например, число 78: для него сумма цифр числа 7×8 = 56 равна 11, а это уже больше, чем 9. Значит, стоит перебрать все возможности и найти ответ: 13 (например, для числа 77 сумма цифр числа 7×7 = 49 как раз 13).

2. Число A дает остаток 7 от деления на 12, а число B дает остаток 3 от деления на 12. Верно ли, что число A*B дает остаток 9 от деления на 12?

Ответ. Верно.

Требовалось вспомнить, что остаток от деления произведения А×В на Х всегда равен остатку от произведения остатков А и В от деления на Х. В нашей задаче: А = 12а+7, В = 12с+3, значит, у числа А×В остаток от деления на 12 равен остатку от деления на 12 числа

 7×3 = 21: 12 = 12×1 + 9. Ответ: верно.

3. На белой доске 5×5 Ваня закрасил какие-то клетки синим цветом, а какие-то красным (каждым цветом закрашена хотя бы одна клетка). Никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наименьшее число клеток могли остаться белыми?

Ответ. 2.

Предположим, белых клеток не осталось. Рассмотрим синюю клетку. Вокруг неё не может быть красных клеток (подумайте, почему), значит, все клетки вокруг неё – тоже синие (она могла быть и с краю, и угловая – не имеет значения). Берём любую из них и продолжаем такое же рассуждение. В конце концов получим, что все клетки синие. Предположим, осталась ровно одна белая клетка. Несложно увидеть, что тогда вокруг неё все клетки одного цвета. Дальше рассуждение аналогично предыдущему случаю и снова получаем, что клеток другого цвета не должно быть. Для двух белых клеток можно привести пример.

4. Во сколько раз самое большое четырёхзначное число больше самого большого двухзначного числа?

Ответ. 9999:99=101.

5. Петенька знает цифры 0, 2 и 3. Сколько различных трёхзначных чисел он сможет записать?

Ответ. 18.

Поскольку запрета на использование в числе одинаковых цифр нет, то каждый раз мы выбираем цифру одним из трех вариантов. 0 первым быть не может, поэтому для него всего 2 варианта размещения. Получаем: 3*3*2 = 18. Числа легко выписываются.

203, 202, 200, 220, 222, 223, 230, 232, 233, 300, 302, 303, 320, 322, 323, 330, 332, 333.

6. Пройдя 3/8 длины моста, Крош заметил автомобиль, приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если Крош побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста, а если вперед, то автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает Крош?

Ответ. 15

Пусть s – длина моста. Пусть Крош находился в точке O моста AB, для которой AO = 3/8·s, OB = 5/8·s.                             

 Отметим точку C на участке OB, для которой OC = OA = 3/8·s. По условию, если Крош побежит назад, то встретит автомобиль у начала моста. Это означает, что если Крош побежит вперёд, то он окажется в точке C в тот момент, когда автомобиль будет у начала моста. При этом Крошуу останется преодолеть четверть длины моста, а автомобилю всю длину моста. Но по условию автомобиль и Крош окажутся у конца моста (в точке B) одновременно. Значит, скорость Кроша ровно в 4 раза меньше скорости автомобиля, т.е. равна 15 км/ч.

7. Задача-шутка) Из какой посуды нельзя покушать?

Ответ. Из пустой)

День 3.

Ссылка https://forms.gle/TgiSNXXj11Feno648

1. Назовем автобусный билет с шестизначным номером «счастливым», если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Билет с номером 198 675 –счастливый. Напишите номера двух ближайших к нему счастливых билетов.

Ответ. 198684 и 198666.

Сумма первых трех цифр нашего билета = 1+9+8=18. Ближайшие билеты будут иметь такую же сумму последних трех цифр. Чтобы эти билеты были ближайшие, нужно попытаться менять только единицы и десятки с сохранением суммы цифр. Только единицу не менять не получится. Поэтому это числа 198684 и 198666.

2. 31 декабря Дед Мороз спешил на Новый год. Сначала он ехал на лыжах, затем – на оленях, потом – на тройке лошадей, а после – шел пешком. На каждый из этих отрезков пути, кроме первого, у Деда Мороза ушло вдвое меньше времени, чем на предыдущий. Выехал он в 11 часов вечера, а закончил путь в полночь. Сколько было времени, когда Дед Мороз пересел на тройку лошадей?

Ответ. 11:48 или 23:48.

Всего было 4 участка пути. Самое короткий по времени участок пути - последний. Если время прохождения последнего участка обозначить через х, то остальные будут в 2 и 4 раза больше соответственно. Третий участок - 2*х, второй участок - 4*х, первый - 8*х. Всего он потратит х+2*х+4*х+8*х = 15*х времени, по условию это 1 час = 60 минут. Из уравнения 15*х=60, получим х = 4 минуты.

Первый участок он прошел за 8*4 = 32 минуты. Второй - 4*4=16 минут. Всего на первых два участка 48 минут. Значит на тройку он пересел в 11:48.

3. В одной шестеренке 18 зубцов, а в другой, зацепленной с ней – 30 зубцов. За минуту первая шестерёнка сделала 15 оборотов. Сколько оборотов за то же время сделала вторая?

Ответ. 9.

В момент, когда через точку зацепления проходит 1 зубец первого колеса, через эту же точку проходит также 1 зубец второго колеса. За один и тот же промежуток времени через точку зацепления проходит одинаковое число зубцов обоих зубчатых колес.:

1) 15х18=270 зубцов - проходит через точку зацепления первого колеса с 18 зубцами за 15 оборотов.

2) За этот же промежуток времени через точку зацепления прошло 270 зубцов и второго колеса.

3) 270:30=9 оборотов сделало за этот же промежуток времени второе колесо.

 4. Бобёр Вася распилил бревно на 6 частей за 30 минут. Сколько времени у него уйдёт, чтобы распилить такое же бревно на 12 частей?

Ответ. 66минут.

Время потрачено на распиливание, всего распилов за 30 минут Вася сделал 5 (всегда на один меньше, чем получено частей), значит, на один распил он потратил 6 минут. Чтобы получить 12 частей, он должен сделать 11 таких же распилов. Ответ: 11×6 = 66 минут.

5. Два работника сели обедать. У одного было 4 лепёшки, у другого только 3 лепёшки. Подошёл к ним прохожий и попросил у них поесть. Работники согласились. После обеда, за которым всё съели поровну, разделив для этого каждую лепёшку натри части, прохожий отдал обоим работникам 7 копеек. Как разделить деньги работникам между собой?

Ответ. Первому-5, второму- 2.

Решение: Всего частей у работников получилось 7×3 = 21, то есть каждому досталось по 7 частей. Тогда у первого «лишних» частей было 12-7 = 5, у второго «лишних» частей было 9-7 = 2. Третий заплатил 7 копеек за 7 частей. Первому – 5 копеек, второму – 2 копейки.

6. Три хозяйки, живущие в одной квартире, сговорились заготовить для кухонной печи 6 кубометров дров на всех. Первая из них заготовила 2,5 кубометр, а вторая 3,5 кубометра, а третья вместо своей доли дров внесла 6 рублей. Как хозяйки должны разделить между собой эти деньги?

Ответ. Очевидно, каждая хозяйка должна была внести свою долю размером в 2 кубометра. Значит, первая отдала в счёт третьей 0,5 кубометра, а вторая 1,5 кубометра. Если третья оплатила 6 руб. за 2 «своих» кубометра, то 1 кубометр = 3 руб., 0,5 кубометра = 1,5 руб. Первой – 1,5 руб., второй – 4,5 руб.

7. Задача-шутка) Какой узел нельзя развязать?