Физический смысл второй производной

До сих пор мы имели дело с геометрическим смыслом производной, то есть понимали под производной угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции. Не менее важно понять и физический смысл производной. Производная функции – это скорость её изменения, то есть скорость протекания процесса, который описывается данной функцией.

Пусть тело движется по прямой с переменной скоростью. Расстояние s, пройденное телом за время t, зависит от t. Эта зависимость s = f (t) – закон движения данного тела.

Если некоторый процесс происходит по закону у = f(t), то скорость протекания этого процесса в момент времени t можно определить по формуле v(t) = f '(t).

Кратко говорят: производная – это скорость.

Скорость движения также может изменяться. Скорость из­менения скорости движения – его ускорение. Следовательно, ускорение – производная скорости. Если, например, скорость движения выражается формулой v (t) = gt, то его ускорение а (t) = (gt)' = g.

Пример 3. Если какой-то процесс происходит по закону s (t) = 2 t ³ ‑ 5 t ² + 3, то скорость его протекания в момент t: a (f) = s' (f) = 6 t ² – 10 t, а его ускорение в этот самый момент: a (f) = v' (t) = 12 t – 10.

С помощью производной решают много задач из различных областей науки и практики. Приведём примеры часто применяемых формул, содержащих производную:

ω (t) = φ' (t) – угловая скорость – производная от угла поворота;

a (t) = ω' (t) – угловое ускорение – производная от угловой скорости;

I (t) = q' (t) – сила тока – производная от количества электричества;

N(t) =A'(t) – мощность – производная от работы;

С (t) = Q'(t) – теплоёмкость – производная от количества теплоты;

P(t) = V'(t) – производительность труда – производная от объёма продукции.

3. Выполнить задания:

1) Найти вторую производную функций:

а) y = 7 x ⁴ – 3 x ⁵ + 6 x ³ + x ² – 8 x + 10

б) y = 5cos x + ln x

2) Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой

у = х ⁴ – 6 х² + 5

3) Точка движется так, что путь (в метрах), пройденный ею за t секунд, выражается формулой s = 4t2 + 3t. Найдите:

а) скорость точки в любой момент времени;

б) ускорение точки в любой момент времени;

в) скорость и ускорение точки в момент времени t = 5 с (в полученные формулы скорости и ускорения вместо t нужно подставить 5).