Переходные процессы в линейных электрических цепях

Таблица 8.5

Ва-риант	Рису-нок	E,В	L ,мГн	C ,мкФ	R	R	R	R	Опреде-лить
					Ом
3	8.74	50	1	1500	2	13	4	1	u

 

 

Рис. 8.74

 

 

Решение

 

Классический метод расчёта переходных процессов.

 

1. Запишем выражение для тока:

i_i= i_iсв+ i_iпр,

где i_iсв- ток свободного режима схемы при отсутствии источников ЭДС, является решением соответствующего однородного дифференциального уравнения;

i_iпр- ток принуждённого (установившегося) режима схемы, является частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

2. Принуждённый ток i_iпр находится путём расчета цепи в установившемся режиме после коммутации. Цепь постоянного тока, поэтому i_пр= 0 (постоянный ток через ёмкость не проходит).

Сопротивление индуктивности в установившемся режиме после коммутации равно нулю.

Ток равен:

i_1пр=Е/(R₁+R₃+R₄)=50/(2+4+1)=7,143A

Принуждённое напряжение u_1пр найдём из левого контура схемы:

i_1пр(R₄+R₃)=u_1пр тогда u_1пр=7,143(4+1)=35,714В

3. Законы коммутации i_L(0_-)= i_L(0₊) и u_C(0_-)= u_C(0₊), причём i(0)=0 до коммутации, i₁(0)= i_L(0_-)= i_L(0₊)=Е/(R₁+R₂+R₃+R₄)=50/(2+13+4+1)=2,5A и

и u_C=(0_-)=u_C(0₊)=i₁(0)(R₁+R₃)=2,5∙(4+1)=12,5В.

4. Запишем характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения переходного процесса (свободной составляющей) для схемы после коммутации методом комплексного входного сопротивления с заменой jω на р; схема содержит 2 параллельные сопротивления (R₁+R₄), C₁/р и последовательное им (L₁р +R₁).

 

 

Тогда:

 

  

Найдем корни характеристического уравнения, приравняем числитель нулю.

 => 0,005p²+10,0000015p+0,0105=0 => p²+2000,0003p+2,1=0

p_1,2=-1000,00015±√(1000,00015²-2,1)=-1000,00015±999,999 c^-1

p₁=-0,00105 c^-1; p₂=-1999,99925 c^-1.

5. Свободная составляющая напряжения при комплексных корнях имеет вид: i_1cв=А₁е^p1t+А₂е^p2t.

6. Для нахождения постоянных интегрирования А₁ и А₂ определим зависимые начальные условия:

i₁(0)= i_L(0_-)= i_L(0₊)=2,5A и u_C(0)=u_C=(0_-)=u_C(0₊)=12,5В при t=0

Запишем уравнение Кирхгофа для левого контура схемы после коммутации при t=0:

L₁di₁(0)/dt+R₁i₁(0)=u_C(0); =>

di₁(0)/dt=(u_C(0)- R₁i₁(0))/L₁=(12,5-2∙2,5)/0,001=7500 В/с.

Находим А₁ и А₂ из уравнений:

i_1св(0)=А₁е^-0,00105∙0+А₂е^{-1999,99925∙0} =А₁+А₂=2,50 => А₂=2,50-А₁ и

di₁(0)/dt=А₁(-0,00105)е^{p-0,00105∙0}+А₂(-1999,99925)е^{-1999,99925∙0}=

= А₁(-0,00105)+А₂(-1999,99925)=7500

-0,00105А₁-1999,99925 (2,5-А₁)=7500 => А₁=6,25; А₂=-3,75;

Получаем i_1св(t)=6,25е^-0,00105∙t-3,75е^{-1999,99925∙t}, принуждённый ток i_1пр=7,143

окончательно i₁(t)=7,143+6,25е^-0,00105∙t-3,75е^{-1999,99925∙t}.

 

 

7. Напряжение на резисторе:

u_R1(t)=R₁(i_1пр+i_1св(t))=

=2(7,143+6,25е^-0,00105∙t-3,75е^{-1999,99925∙t})=14,286+12,5е^-0,00105∙t-3,75е^{-1999,99925∙t}

Построим кривую u_R1(t).

Результаты расчётов сведём в таблицу.

Обозна чение	τ=0	τ=1/│p1│	τ=2/│p1│	τ=3/│p1│	τ=4/│p1│	τ=5/│p1│	τ=6/│p1│	τ=8/│p1│	τ=10/│p1│
t	0,000	952,381	1904,761	2857,142	3809,522	4761,903	5714,284	7619,045	9523,806
p1∙t	0,000	-1,000	-2,000	-3,000	-4,000	-5,000	-6,000	-8,000	-10,000
exp(p1∙t)	1,000	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007	0,002	0,000	0,000
p2∙t	0,000	-1904760,5	-3809521,0	-5714281,4	-7619041,9	-9523802,4	-11428562,9	-15238083,8	-19047604,8
exp(p2∙t)	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
uR1, B	19,28571	18,88421	15,97741	14,90805	14,51466	14,36994	14,31670	14,28991	14,28628

 

 График приведен ниже:

 

Операторный метод расчёта переходных процессов.

1. Преобразуем заданную схему после коммутации в эквивалентную операторную схему, которая содержит для индуктивности L₁ содержит операторное сопротивление рL₁ и источник с ЭДС L₁i₁(0), направленный по току i₁(0) и для ёмкости С₁  содержит операторное сопротивление 1/р/С₁ и источник с ЭДС u_C(0)/р, направленный навстречу току.

Найдём начальные условия до коммутации:

i(0)=0, i₁(0)=i₂(0)=Е/(R₁+R₃+R₄)=50/(2+4+1)=7,143А

 

u_C2(0)= i₂(0)(R₃+R₄)= 7,143∙5=35,714В

2. Выполним расчёт операторной схемы методом контурных токов:  внешний контур (ток I₁₁(p))-ветви 1 и 2, обход по часовой стрелке), правый контур (ток I₂₂(p))- ветви 2 и 3, обход по часовой стрелке).

I₂(p)=I₂₂(p), I₁(p)=I₁₁(p), I(p)= I₁₁(p)-I₂₂(p)

 

I₁₁(p)(R₁+ рL₁+1/р/C₁)-I₂₂(p)(1/р/C₁) =E/p+L₁i₁(0)-U_c(0)/p

 

-I₁₁(p) (1/р/C₁)+ I₂₂(p)(R₃+R₄+1/р/C₁)= U_c(0)/p

 

I₁₁(p)∙(2+0,001р+666,667/р) -I₂₂(p)∙(666,667/р) =50/p+0,007143-35,714/p

 

-I₁₁(p)∙(666,667/р)+ I₂₂(p)∙(5+666,667/р)= 35,714/p

 

Решим систему методом Крамера:

∆=(2+0,001р+666,667/р)∙(5+666,667/р)-(666,667/р)²= =(10,667p+0,005р²+0,0105)/р

 

∆₁=((50-35,714)/p+0,00714)∙(5+666,667/р)+(666,667/р)∙35,714/p=

(0,0357p²+76,15p+0,0349)/р²

 

I₁(p)=I₁₁(p)=[(0,0357p²+76,15p+0,0349)/р²]/[(10,667p+0,005р²+0,0105)/р]=

(0,0357p²+76,15p+0,075)/p/(10,667p+0,005р²+0,0105)=F₁(p)/F₂(p)

 

Находим производную:

F₂(p)=p(10,667p+0,005р²+0,0105):F’₂(p)=0,015р²+21,334p+0,0105

Корни характеристического уравнения получим из:

F₂(p)= p(0,005р²+10,667p+0,0105)=0

Находим корни квадратного уравнения р₁=0

p_2,3=-1000,00015±999,999 c^-1.

p₂=-0,00105 c^-1; p₃=-1999,99925 c^-1.

F₁(p₁)=(0,0357p₁²+76,15p₁+0,075)=0,075.

F₁(p₂)= (0,0357p₂²+76,15p₂+0,075)=-0,0743

F₁(p₃)= (0,0357p₃²+76,15p₃+0,075)=-64994,93

F’₂(p₁)= 0,015р₁²+21,334p₁+0,0105=0,0105

F’₂(p₂)= 0,015р₂²+21,334p₃+0,0105=-0,0119

F’₂(p₃)= 0,015р₃²+21,334p₃+0,0105=17331,98

Получим:

i₁(t)=F₁(p₁)/F’₂(p₁) е^p1t+F₁(p₂)/F’₂(p₂)е^p2t+F₁(p₃)/F’₂(p₃)е^p3t =

=0,075/0,0105е^0t +(-0,0743/-0,0119)е^-0,00105t +(-64994,93/17331,98е^{-1999,99925∙t}=

 i₁(t)=7,143+6,249е^-0,00105t -3,777 е^-1999,99925t

u_R1(t)=14,286+12,5е^-0,00105∙t-3,75е^{-1999,99925∙t}

Совпадает с классическим методом

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник для вузов. М.: Гардарики, 2002. 638 с.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1986. 263 с.            

4. Сивяков Б.К., Дубинская И.Л., Осипова С.В. Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2003. 116 с.

5. Теоретические основы электротехники: учеб. пособие для студентов спец. 100400, 200500, 210100, 210300 / Б. К. Сивяков, И. Л. Дубинская, С. В. Осипова; Саратовский гос. техн. ун-т. - Cаратов: СГТУ, 2010. С. 38-59.